如何检查数组是否可以分为总和可被 k 整除的对

这道题目的目标是要从一个非空的整数数组里面找到能够分成多个和相等的子数组，每个子数组的和都是 k 的倍数（k > 0）。要解决这个问题，我们需要使用贪心算法和遍历技巧，下面我们来详细讲解。

思路

一般来说，我们需要将给定数组中的所有元素相加，检查它们是否恰好可以分割为 k 个相等的部分。如果不能，那么就没有答案；否则，我们可以考虑如何寻找这些子数组。

假设数组 $A$ 的长度为 $n$，总和为 $sum$。如果 $sum \bmod k \neq 0$，则无法分割成 $k$ 份，返回 false。否则，我们可以尝试使用贪心算法：将数组 $A$ 中的元素放入 $k$ 个桶中，直到所有的桶的和都是 $sum/k$ 的倍数为止。

具体来说，我们可以定义三个变量：

• $bucket[i]$ 表示第 $i$ 个桶的元素之和；
• $chosen[i]$ 表示第 $i$ 个元素是否被选中；
• $t$ 表示数组 $A$ 中已经被选择的元素之和。

初始时，$bucket[i]$ 都是 $0$，$chosen[i]$ 都是 $false$，$t$ 是 $0$。我们从左往右遍历数组 $A$，对于每一个元素 $a_i$，我们尝试将它放入某一个桶中。可以按照以下规则进行枚举：

• 如果 $chosen[i]$ 是 $true$，说明 $a_i$ 已经被选择过了，直接跳过；
• 如果 $a_i$ 本身就是 $sum/k$ 的倍数，那么可以直接将它放入桶中；
• 否则，我们需要在剩余的桶中查找，找到一个 $bucket[j]$ 满足 $a_i + bucket[j] \leq sum/k$，然后将 $a_i$ 放入 $bucket[j]$ 中。

如果我们成功找到了 $k$ 个桶，且它们的和都是 $sum/k$ 的倍数，那么说明 $A$ 中的元素可以被分为 $k$ 个和相等的子数组，返回 true；否则，返回 false。

代码实现

下面给出一个 Python 的代码实现：

class Solution:
    def canArrange(self, arr: List[int], k: int) -> bool:
        n = len(arr)
        sum_ = sum(arr)
        if sum_ % k != 0:
            return False
        bucket = [0] * k
        chosen = [False] * n
        t = 0
        for i in range(n):
            if chosen[i]:
                continue
            if arr[i] % k == 0:
                bucket[arr[i] % k] += arr[i]
                chosen[i] = True
                t += arr[i]
            else:
                for j in range(k):
                    if bucket[j] + arr[i] <= sum_ // k:
                        bucket[j] += arr[i]
                        chosen[i] = True
                        t += arr[i]
                        break
            if t == sum_:
                return True
        return False

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(nk)$，其中 $n$ 是数组 $A$ 的长度，$k$ 是给定的参数。因为我们最多需要遍历 $nk$ 个元素，每次查找桶的时间复杂度为 $O(k)$，故总时间复杂度为 $O(nk)$。

该算法的空间复杂度为 $O(k)$，因为我们需要使用一个大小为 $k$ 的数组 $bucket$ 存储桶的元素之和，以及一个大小为 $n$ 的数组 $chosen$ 存储元素是否被选中。空间复杂度并不受输入数据的影响，因此是固定的。