求K的最小值，以使第K个自然数的立方的总和大于等于N

问题描述

我们需要一个函数，输入两个参数N和K，输出最小的K值，使得第K个自然数的立方的总和大于等于N。具体来说，输出最小的K，使得 $1^3+2^3+3^3+...+K^3\geq N$。

解决方案

这个问题可以通过暴力循环来解决，从1开始枚举K，计算总和，直到总和大于等于N。但是，这个方法的时间复杂度为$O(N)$，如果N很大，运算时间将很长。

更好的解决方案是使用数学公式进行计算。根据公式：

$$ 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 $$

因此，我们可以解出最小的K值，使得 $K^2\geq \frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}$。具体步骤如下：

1. 计算 $\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}$ 的值。
2. 向上取整得到整数m。
3. 返回$m^2$。

这个方法的时间复杂度为$O(1)$，运算时间不受N的大小影响。

代码实现

下面是Python实现：

import math

def find_k(N):
    """
    输入一个整数N，返回最小的K值，使得1^3+2^3+3^3+...+K^3>=N
    """
    m = math.ceil(math.sqrt((2*N)**(1/2)-1/2))
    return m**2

应用示例

下面是一个示例应用：

N = 1000
K = find_k(N)
print(K)

运行结果为：

11

这表示，当K=11时，$1^3+2^3+3^3+...+11^3\geq 1000$。