检查圆扇区中是否存在点

在进行圆扇区处理时，有时需要判断某个点是否在圆扇区中。下面给出两种方法，供程序员参考。

方法一：利用三角函数

一个点 $(x,y)$ 是否在圆扇区内，就要判断该点与圆心的距离是否大于半径 $r$，并且该点的极角是否在圆弧角度范围内。具体地，设圆心为 $(cx,cy)$，令 $dx=x-cx$，$dy=y-cy$，则该点距离圆心的距离为：

$$d=\sqrt{dx^2+dy^2}$$

如果 $d>r$，则点 $(x,y)$ 肯定不在圆弧内；否则，如果 $dx=0$ 且 $dy<0$，则点 $(x,y)$ 的极角 $\theta=\pi/2$；如果 $dx=0$ 且 $dy>0$，则 $\theta=-\pi/2$；如果 $dy=0$ 且 $dx<0$，则 $\theta=\pi$；如果 $dy=0$ 且 $dx>0$，则 $\theta=0$；否则，$\theta=\arctan(dy/dx)$。注意，我们使用的是数学上的 $\arctan$ 函数，其范围是 $(-\pi/2,\pi/2)$。如果 $dx<0$，则还要加上 $\pi$。最终，该点是否在圆弧内要满足 $0<\theta_1<\theta<\theta_2<2\pi$，其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 分别是圆弧的起点和终点的极角，可以通过勾股定理和 $\arctan$ 函数计算得到。

import math

def is_in_sector(x, y, cx, cy, r, theta1, theta2):
    dx, dy = x-cx, y-cy
    d = math.sqrt(dx**2+dy**2)
    if d > r:
        return False
    if dx == 0 and dy < 0:
        theta = math.pi/2
    elif dx == 0 and dy > 0:
        theta = -math.pi/2
    elif dy == 0 and dx < 0:
        theta = math.pi
    else:
        theta = math.atan(dy/dx)
        if dx < 0:
            theta += math.pi
    return 0 < theta1 < theta and theta < theta2 < 2*math.pi

方法二：利用正弦余弦

另一种方法是根据圆扇区的定义，将该点 $(x,y)$ 与扇区的三个顶点 $(cx,cy)$、$(cx+r\cos\theta_1,cy+r\sin\theta_1)$、$(cx+r\cos\theta_2,cy+r\sin\theta_2)$ 的位置关系进行判断。具体地，可以根据两个向量的叉积和点积的性质，判断三个向量 $(x-cx,y-cy)$、$(\cos\theta_1,\sin\theta_1)$、$(\cos\theta_2,\sin\theta_2)$ 是否构成一个逆时针排列的三角形，从而判断该点是否在扇形区域内。

def is_in_sector(x, y, cx, cy, r, theta1, theta2):
    dx, dy = x-cx, y-cy
    if (dx**2+dy**2 > r**2):
        return False
    return (0 <= (theta2-theta1) % (2*math.pi) <= math.pi and
            0 <= (math.atan2(dy,dx)-theta1) % (2*math.pi) <= (theta2-theta1) % (2*math.pi))

上述代码中，我们使用了向量叉积和点积的性质，即对于向量 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，它们的叉积为 $x_1y_2-x_2y_1$，点积为 $x_1x_2+y_1y_2$。同时，也可以使用 numpy 库来计算向量的叉积和点积，代码更加简洁：

import numpy as np

def is_in_sector(x, y, cx, cy, r, theta1, theta2):
    dx, dy = x-cx, y-cy
    r1 = np.array([r*np.cos(theta1), r*np.sin(theta1)])
    r2 = np.array([r*np.cos(theta2), r*np.sin(theta2)])
    p = np.array([dx, dy])
    if (np.linalg.norm(p) > r):
        return False
    return (np.cross(r1-p, r2-p) > 0 and np.dot(r1-p, r2-r1) > 0)

小结

本文介绍了两种判断一个点是否在圆扇区内的方法，一种基于三角函数，一种基于向量运算。根据实际情况选择合适的方法，可以提高程序的效率和可读性。