重新排列 N 个数字和 M 个字母的方法计数，使所有字母保持在一起

在编程中，我们有时需要对一个集合进行重新排列，并且要保持其中一些元素始终在一起。

本题中，我们要重新排列N个数字和M个字母，并且要求所有字母保持在一起。具体地，假设这M个字母在原来的集合中排列在A[i], A[i+1], ..., A[i+M-1]的位置上，我们要求重新排列后字母仍然在这些位置上。同时，数字和字母可以互换位置。要求你计算有多少种不同的排列方法。

下面给出一个具体的例子：

Input: nums = [1, 2, 3, 'A', 'B', 'C'], M = 3, position = 3
Output: 228

其中，nums为原始集合，M为字母个数，position为字母开始的位置（下标从0开始）。例如，在上例中，我们有3个字母'A', 'B', 'C'，它们分别在nums的第3, 4, 5个位置，我们要求重新排列数字和字母使得这3个字母仍然在nums的第3, 4, 5个位置上，并且数字和字母可以互换位置。最后，总共有228种不同的排列方法。

接下来，我们将介绍两种常见的计数方法来解决以上问题。

方法一：动态规划

我们可以使用动态规划来解决本题。具体地，我们定义$dp[i][j]$为前i个数字和前j个字母的排列方法数，其中第j个字母在nums中的位置为pos[j]。对于dp[i][j]，我们可以分以下两种情况来讨论：

• 第j个字母和i+1号数字互换了位置。此时，我们需要将j-1号字母插入到i+1～pos[j]-1号位置中，而元素i, i+1, ..., pos[j]-1都要往后移动一个位置。因此，此时$dp[i][j]=\sum_{k=i}^{pos[j]-1}(dp[k][j-1]*(k-i+1))$。

• 第j个字母没有移动（即保持在原来的位置）。此时，我们可以直接将i个数字排列在0～pos[j]-1号位置中，并且再把剩下的数字随意地排列在剩下的位置中（共有n-pos[j]+1个数字待排列）。因此，此时dp[i][j]=$dp[i][j-1]*n+i$。

最终答案即为$dp[N][M]$。

时间复杂度：$O(N^2 M)$。

Python3代码如下：

def calculate(nums, M, position):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (M + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = 1
    for j in range(1, M + 1):
        for i in range(j - 1, n):
            dp[i][j] = (dp[i-1][j]*(i-pos[j-1]+1) if i >= pos[j-1] else 0) + dp[i-1][j-1]*(n-i+1)
    return dp[n-1][M]

方法二：组合数学

我们可以使用组合数学来解决本题。具体地，假设字母'A', 'B', 'C'在nums中的位置为A[i], A[i+1], A[i+2]，我们要保持它们在这些位置上，可以分为以下两步：

1. 对于A[i]位置上的字母，我们需要从剩下的(n-M)个数字中选择一个数字，并将其与A[i]交换位置。因此，这一步有(n-M)种不同的选择。

2. 对于A[i+1]和A[i+2]位置上的字母，我们需要从剩下的(n-(M-1))个数字中选择一个数字，并将其与A[i+1]、A[i+2]交换位置。因此，这一步有(n-(M-1))种不同的选择。

最终方案数即为(n-M)*(n-(M-1))。

时间复杂度：$O(1)$

Python3代码如下：

def calculate(nums, M, position):
    n = len(nums)
    return (n-M)*(n-(M-1))

以上就是本题的两种常见解法，我们可以根据具体情况来选择合适的算法。