通过递增或递减 K 来最大化数组的 GCD

在算法竞赛中，有一类经典问题叫做 "通过递增或递减 K 来最大化数组的 GCD"，是一道经典的数学问题，如果你对数论有一定的了解，应该会容易理解。

下面，我们将为您介绍该问题以及如何用代码来解决它。

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 A，和一个整数 K。你可以使得数组 A 中的每个元素加上或减去 K，使得数组 A 的 GCD 值最大化。求这个最大的 GCD 值。

解题思路

经典问题，本题解中提供了 O(N lg C) 的做法，其中 C 是元素最大值。

对于数 x，设 A 中最接近 x 与 x 的差为 t。对于 GCD(A+k)，需要在 [x-t, x+t] 中找一个最大的 d，使得 d|A[i]+k (1 ≤ i ≤ n)，这个问题有一个很明显的子问题，就是当 d 和 A[i] 模 mod=d 的余数相同时，GCD(A+k) 对 d 的贡献一样。所以可以把 A 中每个数和 x 模 d 的余数组成的桶扫一遍，维护所有的前缀和，计算出每个模数的数的 sum，然后用 sum 是否为 0 来判断这个模数是否是 A 中的因子。

这个问题的关键在于如何快速地计算出所有模数的 sum，这个问题可以考虑差分数组，为了得到 k 的答案，需要用到 t=（x mod k）和 k-t 两组数的差分，这样就能得到所有以 k 为模数的数的 sum。

在计算答案时，可以枚举 GCD 的因子，对于一个因子 k，如果存在 A 中的一个数与 x 的差 mod k 等于 t，那么 k 就是可能的答案。具体实现时可以先枚举 k，然后在 k 的所有倍数中二分找到最大的小于等于 x 的数 y，用 abs(x-y) 作为 t。计算出所有以 k 为因子的数的 sum，计算方案数即可。

代码实现

代码实现分为以下几个部分：

1. 枚举 GCD 的因子 k，求出所有以 k 为因子的数的 sum。
2. 计算方案数。

代码实现如下：

from math import sqrt

def gcd(x, y):
    if x < y:
        x, y = y, x
    while y:
        x, y = y, x % y
    return x

def check(ans, x, A, t, n):
    for k in range(1, int(sqrt(ans)) + 1):
        if ans % k != 0:
            continue
        for ku in range(x % k, n, k):
            if abs(t[A[ku] % ans]) != -1:
                return False
    return True

def work(A, x, n):
    t = [-1] * x
    for i in range(n):
        t[A[i] % x] *= -1
    pre = 0
    for i in range(1, x):
        pre += t[i-1]
        t[i] *= pre
    sum = 0
    for i in range(1, x):
        if x % i == 0:
            sum += t[i]
    return sum

def solve(A, n, x):
    ans = 1
    if x == 2:
        return 2
    for p in range(0, int(sqrt(x))+1):
        if x % (p+1) == 0:
            t1 = p+1
            t2 = x//(p+1)
            for i in range(-1, 2, 2):
                for j in range(-1, 2, 2):
                    d1 = abs(i*t1-j*t2)
                    if d1 <= 1:
                        continue
                    if work(A, d1, n) == 0:
                        if check(ans, x, A, [0]+list([float('nan')]*d1), n):
                            ans = d1
    return ans

总结

这是一道经典的数论问题，考察了如何计算 GCD 的因子及其倍数，同时也考察了如何根据差分数组计算区间和的问题。