Big Oh, Big Omega 和 Big Theta 之间的区别

当我们分析算法的时间复杂度时，通常会用到三种符号来表示算法的复杂度：Big Oh、Big Omega 和 Big Theta。这三种符号都是用来描述算法的渐进复杂度，即算法运行时间在最坏情况下的渐进上限、下限和上限与下限之间的一个紧确界。

Big Oh

Big Oh 表示算法的最坏情况下的渐进上限，可以用来衡量算法的最差运行时间。它的定义为：

f(n) = O(g(n))

当且仅当存在正常数 c 和 N，使得对于所有的 n>N，有 f(n)≤c*g(n)。

这意味着随着输入规模 n 的增加，算法的运行时间不会超过 c*g(n)。

常见的 Big Oh 记号表示方法有：

• O(1) ：常数时间复杂度。
• O(log n) ：对数时间复杂度。
• O(n) ：线性时间复杂度。
• O(n^2) ：平方时间复杂度。
• O(2^n) ：指数时间复杂度。

Big Omega

Big Omega 表示算法的最坏情况下的渐进下限，可以用来衡量算法的最好运行时间。它的定义为：

f(n) = Ω(g(n))

当且仅当存在正常数 c 和 N，使得对于所有的 n>N，有 f(n)≥c*g(n)。

这意味着随着输入规模 n 的增加，算法的运行时间不会比 c*g(n) 慢。

常见的 Big Omega 记号表示方法有：

• Ω(1) ：常数时间复杂度。
• Ω(log n) ：对数时间复杂度。
• Ω(n) ：线性时间复杂度。
• Ω(n^2) ：平方时间复杂度。
• Ω(2^n) ：指数时间复杂度。

Big Theta

Big Theta 被用来表示算法的渐进紧确界，同时同时衡量算法的最好和最坏运行时间。它的定义为：

f(n) = Θ(g(n))

当且仅当存在正常数 c1、c2 和 N，使得对于所有的 n>N，有 c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n)。

这意味着随着输入规模 n 的增加，算法的运行时间在 c1g(n) 和 c2g(n) 之间。

常见的 Big Theta 记号表示方法有：

• Θ(1) ：常数时间复杂度。
• Θ(log n) ：对数时间复杂度。
• Θ(n) ：线性时间复杂度。
• Θ(n^2) ：平方时间复杂度。
• Θ(2^n) ：指数时间复杂度。

总结

• Big Oh 表示渐进上限，衡量算法的最差运行时间。
• Big Omega 表示渐进下限，衡量算法的最好运行时间。
• Big Theta 表示渐进紧确界，同时衡量算法的最好和最坏运行时间。

在分析算法复杂度时，我们通常只需要用到 Big Oh 符号，因为 Big Oh 表示算法的上限，可以说明算法的时间效率的大致情况。但如果需要更细致的分析，就需要用到 Big Omega 和 Big Theta 符号。