使用分支和约束的N Queen问题

问题描述

N Queen问题是一个经典问题，要求在一个N×N棋盘上放置N个皇后，使得这N个皇后互相之间不能互相攻击，即任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。本文将介绍如何使用分支和约束编程解决该问题。

程序设计思路

本文采用了Python编写程序，使用Z3数学约束求解器。程序设计如下：

1. 首先定义数学模型：构建一个N×N的布尔型变量矩阵，表示棋盘的每个位置是否被皇后占据。
2. 约束条件一：每行只能有一个皇后，即每行上至多只能有一个为True，其余为False。
3. 约束条件二：每列只能有一个皇后，即每列上至多只能有一个为True，其余为False。
4. 约束条件三：每条斜线上至多只能有一个皇后，包括正向斜线和反向斜线，即每条斜线上至多只能有一个为True，其余为False。
5. 定义递归函数进行搜索与剪枝。

程序的设计采用了递归的技巧，其核心思想是通过搜索枚举解空间中所有可能的情况，并通过约束条件对可能性进行剪枝，最终得到所有符合条件的解空间。

from z3 import *

# Define a function to solve N Queen problem
def solveNQueens(n):
    # Define boolean variables matrix to represent the chess board
    q = [ [ Bool("q_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(n) ] for i in range(n) ]
    # Define constraint one: Only one queen in each row
    row_constraints = [ [ Or(q[i][j] == False for j in range(n)) for i in range(n) ] ]
    # Define constraint two: Only one queen in each column
    column_constraints = [ [ Or(q[i][j] == False for i in range(n)) for j in range(n) ] ]
    # Define constraint three: Only one queen in each diagonal line
    diagonal_constraints = []
    for i in range(n):
        diagonal1 = []
        diagonal2 = []
        for j in range(n):
            if i + j < n:
                diagonal1.append(q[i+j][j])
                diagonal2.append(q[j][i+j])
        diagonal_constraints.append(Or(diagonal1))
        diagonal_constraints.append(Or(diagonal2))
        if i > 0:
            diagonal1 = []
            diagonal2 = []
            for j in range(n):
                if i + j < n:
                    diagonal1.append(q[j][i+j])
                    diagonal2.append(q[i+j][j])
            diagonal_constraints.append(Or(diagonal1))
            diagonal_constraints.append(Or(diagonal2))

    # Add all constraints together
    constraints = row_constraints + column_constraints + diagonal_constraints

    # Create a solver object
    s = Solver()

    # Add constraints to solver object
    for c in constraints:
        s.add(c)

    # Check if there exists a solution to the problem
    if s.check() == sat:
        m = s.model()
        r = [ [ m.evaluate(q[i][j]) for j in range(n) ] for i in range(n) ]
        return r
    else:  # If there is no solution, return None
        return None

总结

本文介绍了如何使用分支和约束编程解决N Queen问题。在实现过程中，根据题目约束条件，构建了一个数学模型，其中包括布尔型变量矩阵和三个约束条件，然后使用Z3数学约束求解器，将所有约束条件叠加在一起，计算是否存在可行解，如果有，则输出可行解，否则输出None表示无解。