将k个断点放入数字后的最大段值

在数字中加入k个断点，将数字分为k+1段，求所有段中的最小值的最大值。

例如，数字为1245，断点为1和3，则数字被分为4段：1, 245, 2, 5，其中最小值的最大值为245。

解法

这是一道经典的分治题目。我们可以首先考虑如何得到一个数字中的最小值。

假设数字为a[1..n]，将数字分为两段，其中左半段为a[1..k]，右半段为a[k+1..n]。我们可以先求出左半段和右半段的最小值min_left和min_right，然后两者取较小值，即为当前数字的最小值min。

具体实现可以使用动态规划思想，将最小值存储在一个二维数组dp中，其中dp[i][j]表示数字a[i..j]的最小值。状态转移方程为：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j])

其中i <= k < j。

有了求最小值的方法之后，我们就可以使用二分法，得到一个数字的最大最小值max_min。具体方法是，设数字最大最小值取值范围为[left, right]，其中left为数字中的最小值，right为数字中的最大值。我们可以通过枚举mid，将数字分为若干个段，其中每个段的最小值都不大于mid。如果段的数目不多于k+1，则可以尝试增加mid的值；否则mid的值需要降低。

具体实现过程可以使用二分查找，每次计算mid的值，然后使用上述方法求出最大最小值是否可行。如果可行，则将当前的mid值设为答案，并尝试增加mid的值；否则，将mid的值降低。

代码

def max_min(nums, k):
    n = len(nums)

    # 利用动态规划求出数字中所有子串的最小值
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = nums[i]
    for len_ in range(2, n + 1):
        for i in range(n - len_ + 1):
            j = i + len_ - 1
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], min(dp[i][k], dp[k+1][j]))

    # 利用二分法求出数字中的最大最小值
    left, right = min(nums), max(nums)
    ans = left
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        cnt = 1
        cur_min = nums[0]
        for i in range(1, n):
            cur_min = min(cur_min, nums[i])
            if nums[i] - cur_min > mid:
                cnt += 1
                cur_min = nums[i]
        if cnt <= k:
            ans = mid
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1

    return ans

这是一个时间复杂度为O(n^3 log n)的算法，其中n为数字的长度。可以通过一些技巧优化时间复杂度，例如使用单调队列，可以将时间复杂度降低到O(n^2 log n)。