检查图中是否存在长度为 3 的循环

在图论中，循环是指从一个点开始沿着图中的边一直走，最终回到原点的路径。长度为3的循环被成为三元环。

在本篇文章中，我们将介绍一种常见的算法，用于检查是否存在任意长度的循环（包括三元环），其时间复杂度为O(V^3)，其中V为顶点数。

思路

我们可以枚举图中的每一个三元组(u,v,w)，然后判断是否存在一条从u到v，从v到w，从w到u的路径。

具体地，我们可以使用Floyd算法来检查是否存在从u到v，从v到w，从w到u的路径。Floyd算法是一种动态规划的算法，用于计算图中任意两点之间的最短路径。如果不存在从u到v，从v到w，从w到u的路径，则Floyd算法会返回无穷大（或者一个非常大的数）。

代码实现

下面是使用Floyd算法检查图中是否存在三元环的代码实现：

// 邻接矩阵表示的图
#define MAX_V 1000
int V;          // 顶点数
int graph[MAX_V][MAX_V];

// 使用Floyd算法检查图中是否存在三元环
bool hasCycle() {
    // dist[u][v]表示从u到v的最短距离
    int dist[MAX_V][MAX_V];
    for (int u = 0; u < V; u++) {
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            dist[u][v] = graph[u][v];
        }
    }

    for (int k = 0; k < V; k++) {
        for (int u = 0; u < V; u++) {
            for (int v = 0; v < V; v++) {
                dist[u][v] = min(dist[u][v], dist[u][k] + dist[k][v]);
            }
        }
    }

    for (int u = 0; u < V; u++) {
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            for (int w = 0; w < V; w++) {
                if (u != v && v != w && w != u && dist[u][v] + dist[v][w] + dist[w][u] < INF) {
                    return true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

时间复杂度

本算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为顶点数。在实际应用中，如果图中的三元环较多，该算法的效率可能会较低。此时，可以根据具体情况，选择其他更高效的算法或优化该算法的实现。