卷积定理

卷积定理是信号处理中常用的一种数学工具，用于描述两个信号之间的信息交换。它建立在 Fourier 变换和尤其是 微积分基础上，由于卷积的计算非常复杂，推导和理解卷积定理则需要用到一定的数学知识。

卷积及其计算

卷积是一种数学运算，用于描述两个自变量相关性函数的乘积与线性加权积分之间的关系。卷积在信号处理、图像处理、物理学、数学等许多领域都有广泛应用。

对于一对函数f(x)和g(x)，它们的卷积定义为：

其中， τ 是谓卷积变量、是一个虚拟的变量，s为实际的值,data[y]表示在y处的输入。

对离散数据进行卷积时，可以将其转化为上述公式中的形式，计算卷积的时候使用自然运算顺序,通常用于标准化信号。

卷积定理

卷积定理指出，做 Fourier 变换的卷积等于做 Fourier 变换之后的函数逐元素乘积，再取得逆 Fourier 变换。其数学表述如下：

其中， X(f) 和 Y(f) 分别表示两个函数 F(x) 和 G(x) 关于频率的 Fourier 变换，× 表示逐元素乘积，^ 表示傅里叶变换的逆变换。

从掌握卷积定理的角度出发，可以方便地对信号进行过滤、去噪、频域乘除等处理操作。

参考资料

• 维基百科: 卷积
• 维基百科: 卷积定理