数组中最长幂数子序列的长度

在计算机科学中，最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题是要在一个未排序的整数序列中找到一个尽可能长的子序列，使得子序列中的所有元素都按照升序排序。该问题可以被形式化为一个求解一个最长上升子序列的问题。

而如果题目中的升序排列条件改为幂数排列（指序列中每一个数都为另一个数的次方），那么就是本题的问题了。

算法思路

我们可以使用动态规划的思路解决这个问题。

假设dp[i]表示以第i个数为结尾的最长幂数字序列的长度。对于dp[i]，它的值为前面最长的某个幂数字序列后面加上当前数所得的长度。

故有状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中0 <= j < i，且nums[j]^k = nums[i]，k为正整数

在以上状态转移方程中，dp[j]表示以第j个数为结尾的最长幂数字序列的长度，而dp[i]则表示以第i个数为结尾的最长幂数字序列的长度。如果当前数nums[i]能够接在前面一个数的后面，则说明当前数和前面的数可以组成一个更长的幂数字序列。

最后，我们只需要从所有的dp[i]中取出最大值即可。

代码实现

def max_power_num_sequence(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j]**k == nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

以上代码是使用Python实现的，其中nums为输入数组，k为正整数，代表幂数。

性能分析

使用动态规划的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。由于本题中输入数组没有排序，因此我们必须遍历前面的数来进行转移。如果题目中的升序排列条件得到满足，那么我们可以使用更为高效的二分查找算法来优化此处的时间复杂度为O(nlogn)。