不在正确位置的元素计数

在计算机科学中，常常需要判断一个序列中有多少元素不在其正确的位置上。比如，在一个数组中找出所有逆序对（逆序对即i<j并且A[i]>A[j]）。这类问题的解法很多，但其中一种比较常见且简单的方法就是使用归并排序。

归并排序

归并排序的基本思想是将一个序列递归地切分成两个子序列，对每个子序列进行排序，然后再将两个子序列合并成一个有序序列。

Python代码如下：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = merge_sort(arr[:mid])
    right = merge_sort(arr[mid:])
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    res = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            res.append(left[i])
            i += 1
        else:
            res.append(right[j])
            j += 1
            # 当right[j]比left[i]小时，left[i:]中的每个数都是right[j]的逆序对
            global count
            count += len(left)-i
    res += left[i:]
    res += right[j:]
    return res

在归并的过程中，当右边的数比左边的数小时，说明左边的所有剩余元素都是右边数的逆序对。每当出现这种情况，就将左边剩下的数量加到计数器count上即可。

示例

以[1, 5, 3, 2, 4]为例，归并排序过程如下：

graph TD;
    A(1, 5, 3, 2, 4) --> B(1, 5, 3)
    A --> C(2, 4)
    B --> D(1)
    B --> E(3, 5)
    E --> F(3)
    E --> G(5)
    C --> H(2)
    C --> I(4)
    D --> J((1))
    H --> K((2))
    I --> L((4))
    F --> M((3))
    G --> N((5))
    J --> O(1)
    K --> O(2)
    L --> O(4)
    M --> P(3)
    N --> Q(5)
    O --> R(1, 2)
    O --> S(1, 2, 4)
    P --> S(1, 2, 3, 4)
    Q --> S(1, 2, 4, 5)

在合并左子序列[1]和右子序列[2, 4]时，2比1大，因此2比左边任何一个数都要大，也就是说[1]中的1都是2的逆序对。因此，count += len([1])，也就是count += 1。

总结

通过归并排序计算逆序对的过程，可以应用到很多不同的问题中，如求数组的逆序对数、归并排序、求解求解逆序数等等。因此，这也是程序员必须掌握的一种算法思想。