找到过河的最低费用

介绍

在这个题目中，我们需要找到河流的最低费用来渡河。我们可以采用动态规划算法来解决这个问题。该算法可以在 $O(n^2)$ 的时间内完成。

算法思路

假设我们有一个河流，河流被分成 $n$ 个单位。我们需要从左岸到右岸，依次经过每个单位。我们可以定义一个 $dp$ 数组，$dp[i]$ 表示我们到达第 $i$ 个单位的最小花费。

我们可以通过以下步骤求解整个问题：

1. 定义 $dp$ 数组，$dp[i]$ 表示我们到达第 $i$ 个单位的最小花费。
2. 初始化 $dp$ 数组为无穷大，$dp[0]$ 为 $0$。
3. 枚举所有可能的前一步状态，计算到达当前位置的费用。具体来说，对于每一个 $i \in {1, 2, ..., n}$，我们枚举从 $j$ 到 $i$ 的所有可能的路径。对于每个路径，我们将前一步的状态 $dp[j]$ 和到达当前位置的费用相加，即为当前状态的 $dp$ 值。其中，到达当前位置的费用可以通过一个费用矩阵 $cost$ 来获得：$cost[i][j]$ 表示从第 $i$ 个单位到第 $j$ 个单位的花费。
4. 最终的答案为 $dp[n]$。

代码实现

double dp[MAXN];  // 定义dp数组
double cost[MAXN][MAXN];  // 定义花费矩阵

// 初始化dp数组
memset(dp, INF, sizeof(dp));
dp[0] = 0;

// 枚举上一个状态和当前状态
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 0; j < i; ++j) {
        // 计算到达当前状态的费用
        double new_cost = dp[j] + cost[i][j];
        dp[i] = min(dp[i], new_cost);
    }
}

// 最终的答案为dp[n]
double ans = dp[n];

总结

动态规划算法是解决最优化问题的一种有效算法。在本题中，我们使用了动态规划算法来求解过河的最小花费。通过定义dp数组和费用矩阵，并枚举所有可能的前一步状态，我们可以计算出最小花费。