Digit DP 算法：计算少于N的数字，其中包含给定集合中的数字

算法介绍

• Digit DP 算法是一种数字动态规划算法，其主要作用是计算满足某些条件的数字集合中少于 N 的数字个数。

• 在该算法中，通常需要一个状态表示当前已经处理的数字位数及该位之前的数字信息，然后根据该状态进行递归计算。

• 算法的时间复杂度往往与 N 和集合大小相关，通常为 O(log N * 状态数 * 集合大小)。

• 这种算法通常适用于需要对数字进行某些操作的问题上，如计算能被3整除的数字、计算含有给定集合中数字的个数等问题。

算法实现

下面给出一个使用 Digit DP 算法来计算给定集合中的数字中小于 N 的数量的 Python 示例如下：

def get_cnt(n, digits):
    s = str(n)
    dp = [[[0] * 2 for _ in range(len(digits) + 1)] for _ in range(len(s) + 1)]
    dp[0][0][1] = 1
    
    for i in range(len(s)):
        for j in range(len(digits) + 1):
            
            # 处理当前位数
            for k in range(10):
                if k == int(s[i]):
                    dp[i + 1][j][0] += dp[i][j][0]
                    if j < len(digits) and k == digits[j]:
                        dp[i + 1][j + 1][0] += dp[i][j][1]
                elif k < int(s[i]):
                    dp[i + 1][j][0] += dp[i][j][1]
                    if j < len(digits) and k == digits[j]:
                        dp[i + 1][j + 1][0] += dp[i][j][1]
                else:
                    dp[i + 1][j][1] += dp[i][j][1]
                    if j < len(digits) and k == digits[j]:
                        dp[i + 1][j + 1][1] += dp[i][j][1]
    
    ans = 0
    for j in range(len(digits) + 1):
        ans += dp[len(s)][j][0] + dp[len(s)][j][1]
    
    return ans

算法思路

• 首先将数 N 转换成字符串 s，便于对每一位进行处理。

• 定义一个三维数组 dp 表示当前位数、所包含的集合元素个数、是否达到上限的情况下小于 N 的数字数量。

• 初始化 dp 数组，状态为 (0, 0, 1) 表示已处理 0 位，包含 0 个集合元素，且当前的数字小于 N。

• 根据 DP 转移方程，在处理 i 位时，遍历 0 到 9 的数字，并根据数字大小和集合元素是否包含决定 DP 值的加和和转移。

• 最后统计 dp 数组中小于 N 的数字数量，即为答案。

总结

Digit DP 算法是一种常用于数字处理问题的动态规划算法，需要分析数字结构、定义状态和转移方程，通常时间复杂度为 O(log N * 状态数 * 集合大小)。在实际应用中，也需要根据具体问题结合算法进行优化，适当地进行剪枝等操作，以提高算法的效率。