常见复函数的解析

复函数（Complex Function）是指含有复数变量的函数。复函数通常可以表示成 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的形式，其中 $z=x+iy$，$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。

在实际应用中，常见的复函数有很多种。下面我们简要介绍几种常见的复函数及其解析形式。

复指数函数

复指数函数 $f(z)=e^ z$ 在复平面上的图像形如一片模糊的云密布的区域，称为指数函数的指数曲线。在实轴上，指数函数是实指数函数 $f(x)=e^x$；在虚轴上，指数函数是正弦函数 $f(iy)=\sin y+i\cos y$。指数函数是由实指数函数 $e^x$ 旋转得到的函数。指数函数 $e^z$ 的主分支是 $-\pi<\arg z\leq \pi$。

解析式

指数函数 $f(z)=e^ z$ 的解析式为：

$$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$$

其中 $z=x+iy$。

代码片段

import cmath

def exp(z: complex) -> complex:
    return cmath.exp(z)

复对数函数

复对数函数（或称为复数的自然对数） $f(z)=\ln z$ 是指数函数的反函数。其解析式为 $f(z)=\ln r+i\theta$，其中 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，$0\leq\theta<2\pi$，$-\pi<\arg z\leq\pi$。复数的对数的解析式不唯一，因为它的参数 $z$ 的幅度与幅角的选取取值不同，会得到不同的函数值。但是，我们通常规定复数的对数的主分支为 $-\pi<\arg z\leq\pi$，也就是 $0\leq\theta<2\pi$。

解析式

复对数函数 $f(z)=\ln z$ 的解析式为：

$$\ln z=\ln|z|+i\arg z$$

其中 $z\neq 0$。

代码片段

import cmath

def ln(z: complex) -> complex:
    return cmath.log(z)

复正弦函数

复正弦函数 $f(z)=\sin z$ 的解析式为：

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

代码片段

import cmath

def sin(z: complex) -> complex:
    return cmath.sin(z)

复余弦函数

复余弦函数 $f(z)=\cos z$ 的解析式为：

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

代码片段

import cmath

def cos(z: complex) -> complex:
    return cmath.cos(z)

复正切函数

复正切函数 $f(z)=\tan z$ 的解析式为：

$$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}$$

代码片段

import cmath

def tan(z: complex) -> complex:
    return cmath.tan(z)

以上就是常见复函数的简要介绍，复数函数在实际应用中有着广泛的应用价值。