数组中的AP(算术级数)子序列的计数

在计算机科学中，算术级数是指一个整数序列，每个整数与前一个整数之差相等。例如，序列1、3、5、7、... 是一个以2为公差的算术级数。 我们可以在一个数组中找到一个算术级数子序列，只需要其中元素之间的差值相同。 在这个主题中，我们将介绍如何计算一个数组中的AP子序列。

什么是AP子序列？

AP子序列是指数组中每个数值之间的差值都相等的子序列。通俗地说，如果存在一个整数 $d$，使得数组 $a$ 中的一些元素 $a_i, a_j, a_k$ 满足以下条件：

$$a_j = a_i + d ::::: and ::::: a_k = a_j + d$$

则 $a_i, a_j, a_k$ 是一个AP子序列。

如何计算AP子序列的数量？

我们可以使用动态规划（DP）算法来计算数组中的AP子序列数量。为此，我们定义一个状态变量 $dp[i][d]$，表示以 $a[i]$ 结尾，公差为 $d$ 的AP子序列数量。

我们的目标是计算 $dp[i][d]$，通过 $dp$ 数组中的值来更新可能的AP子序列数量。我们可以对于每个 $i$，扫描所有小于 $i$ 的 $j$，尝试将 $a[i]$ 加入以 $a[j]$ 结尾，公差为 $a[i]-a[j]$ 的AP子序列。由于以 $a[j]$ 结尾，公差为 $a[i]-a[j]$ 的AP子序列已经计算过了，所以我们将其数量加到 $dp[i][a[i]-a[j]]$。

def countAP(a: list) -> int:
    n = len(a)
    dp = [[0] * 1001 for _ in range(n)]
    counter = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            diff = a[i] - a[j]
            dp[i][diff] += dp[j][diff] + 1
            counter += dp[j][diff]
    return counter

在上面的DP解决方案中，我们从 $dp[0][0]$ 开始，逐个计算 $dp[i][d]$。时间复杂度为$\mathcal{O}(n^2)$，空间复杂度为$\mathcal{O}(n\times D)$，其中 $D$ 为最大公差。

如何进行优化？

我们可以看到，上面的算法采用了二维矩阵的DP表，需要$\mathcal{O}(n\times D)$的空间复杂度。我们可以进一步对解决方案进行优化，使用一维矩阵存储内容来减少空间。

def countAP_optimized(a: list) -> int:
    n = len(a)
    dp = [0] * 1001
    counter = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            diff = a[i] - a[j]
            dp[diff] += dp[j*2-diff] + 1
            counter += dp[j*2-diff]
    return counter

在这里，我们将 $dp[i][diff]$ 表示为 $dp[diff]$，数组长度缩短，内存占用更少的同时仍保持 $\mathcal{O}(n^2)$ 的时间复杂度。