3.4 一次

在计算机程序设计中，一次函数是指形如 $y = kx + b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。一次函数中最常见的是一元一次函数，其中只有一个变量 $x$，但也可以有多元一次函数，例如 $y = mx + nz + b$，其中 $m$、$n$、$z$ 和 $b$ 是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。

数学基础

在数学中，一次函数又称为线性函数，因为它的图像是一条直线。一次函数的最基本形式是 $y = kx$，其中 $k$ 是斜率，表示直线的倾斜程度。当 $k$ 大于 $0$ 时，函数值随 $x$ 的增大而增大，图像向右上方倾斜；当 $k$ 小于 $0$ 时，函数值随 $x$ 的增大而减小，图像向右下方倾斜；当 $k$ 等于 $0$ 时，函数值不随 $x$ 的变化而变化，图像是一条水平线。

一次函数的另一个关键参数是截距 $b$，表示 $y$ 坐标轴上的截距，即当 $x$ 等于 $0$ 时，函数的值。例如，当 $y = 2x + 1$ 时，截距为 $1$，即直线与 $y$ 坐标轴的交点为 $(0,1)$。如果 $b$ 等于 $0$，则这条直线通过原点，称为原点斜率式。

在程序设计中的应用

一次函数在程序设计中的应用非常广泛，常常被用于实现最简单的算法和数据结构。

计算斜率

计算一条直线的斜率是一次函数在程序设计中最常见的应用之一。给定两个点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，它们之间的连线是一条直线，斜率为：

$$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

我们可以用一次函数来表达这个式子，假设 $x_1$ 和 $y_1$ 已知，我们可以求出 $b$：

$$ b = y_1 - kx_1 $$

然后用这个一次函数来计算 $y_2$：

$$ y_2 = kx_2 + b $$

这些公式适用于任何维度的点，例如在三维空间中，直线的斜率可以由两个点的坐标组成的向量来计算。

线性模型

在机器学习中，有一种常用的模型叫做线性模型，可以理解为用一次函数来拟合数据。假设有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，我们要找到一条直线 $y = kx + b$ 来尽可能地接近这组数据。这个问题可以转化为最小化误差平方和：

$$ \min_{k,b} \sum_{i=1}^n (y_i - kx_i - b)^2 $$

其中 $k$ 和 $b$ 是我们要求解的参数。这个式子可以通过求导来得到 $k$ 和 $b$ 的解析解；也可以通过梯度下降等算法来求解。

数据结构

在数据结构中，一次函数可以用来实现单链表和数组。例如在单链表中，每个节点都保存了一个元素和指向下一个节点的指针。我们可以用一次函数表示这个指针，在 $i$ 号节点中，指向下一个节点的指针为：

$$ p_i = a_i x + b_i $$

其中 $x$ 是一个常数，$a_i$ 和 $b_i$ 是与节点 $i$ 相关的参数。例如如果 $x=1$，则 $p_i$ 是指向 $i+1$ 号节点的指针。在数组中，每个元素都有一个下标，我们也可以用一次函数来计算元素的地址：

$$ a_i = b + ix $$

其中 $x$ 是每个元素的大小，$b$ 是数组的基址。这个一次函数称为下标-地址映射函数，用来支持快速的随机访问。

总结

一次函数是程序设计中的重要基础概念，广泛应用于算法、数据结构和机器学习等领域。如果理解了一次函数的基本性质，不仅可以解决很多简单的问题，还可以掌握更高级的数学知识。