百隆整数

百隆整数（Balong Integer）是一种用于处理大整数的数据结构。它可以表示比计算机基本数据类型（如int和long）更大的整数，可以进行加、减、乘、幂等基本数学运算。

基本实现

百隆整数是通过一个整数数组来表示一个大整数。数组中的每个元素表示该整数的一位，最高位在数组头，最低位在数组尾。每个元素是一个 $n$ 位整数，其中 $n$ 是一个常数，一般取 4。

为了便于理解，以下示例中，我们假设 $n=2$。

以正数 $123456789$ 为例，它可以被分解为 $12345$ 和 $6789$ 两个数字：

int[] digits = new int[]{12345, 6789};

在实际实现中，还需要考虑符号位，用一个布尔变量来表示正负，以及一些其他的边界情况。

基本运算

加法

对于两个百隆整数 $a$ 和 $b$，它们的加法运算可以通过对它们的每位进行累加来计算。累加时，需要注意进位。示例如下：

public static BalongInteger add(BalongInteger a, BalongInteger b) {
    BalongInteger c = new BalongInteger();
    int carry = 0;
    for (int i = 0; i < a.digits.length || i < b.digits.length; i++) {
        int sum = carry;
        if (i < a.digits.length) {
            sum += a.digits[i];
        }
        if (i < b.digits.length) {
            sum += b.digits[i];
        }
        c.digits[i] = sum % 100;
        carry = sum / 100;
    }
    if (carry > 0) {
        c.digits[c.digits.length - 1] = carry;
    }
    c.normalize();
    return c;
}

减法

减法运算类似于加法，在累加时需要注意借位。示例如下：

public static BalongInteger subtract(BalongInteger a, BalongInteger b) {
    BalongInteger c = new BalongInteger();
    int borrow = 0;
    for (int i = 0; i < a.digits.length || i < b.digits.length; i++) {
        int diff = borrow;
        if (i < a.digits.length) {
            diff += a.digits[i];
        }
        if (i < b.digits.length) {
            diff -= b.digits[i];
        }
        if (diff < 0) {
            diff += 100;
            borrow = -1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        c.digits[i] = diff;
    }
    c.normalize();
    return c;
}

乘法

乘法运算可以通过对两个整数的每一位进行相乘，并将结果相加得到。实现时需要注意进位和对齐的问题。示例如下：

public static BalongInteger multiply(BalongInteger a, BalongInteger b) {
    BalongInteger c = new BalongInteger();
    for (int i = 0; i < a.digits.length; i++) {
        int carry = 0;
        for (int j = 0; j < b.digits.length; j++) {
            int product = a.digits[i] * b.digits[j] + carry + c.digits[i + j];
            c.digits[i + j] = product % 100;
            carry = product / 100;
        }
        if (carry > 0) {
            c.digits[i + b.digits.length] += carry;
        }
    }
    c.normalize();
    return c;
}

幂

幂运算可以通过连续进行多次乘法得到。一般来说，幂指数较小的情况下可以采用快速幂算法，而幂指数较大的情况下则需要采用更高效的算法。示例如下：

public static BalongInteger pow(BalongInteger a, int n) {
    BalongInteger result = new BalongInteger(1);
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) {
            result = multiply(result, a);
        }
        a = multiply(a, a);
        n /= 2;
    }
    return result;
}

总结

百隆整数是一种用于处理大整数的数据结构，可以进行加、减、乘、幂等基本数学运算。它是一种基本的数据结构，对于高精度计算等领域有重要的应用价值。实际实现中，还需要考虑很多细节问题，如对齐、符号位、进位等，需要进行详细的设计和测试。