最长递增索引划分子序列的长度

简介

在计算机科学中，最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是一个在一个序列中寻找最长的子序列的问题。这个子序列中的元素需要按照递增的顺序排列。例如，给定序列 [0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9]，最长递增子序列是 [0, 2, 6, 9, 14]。

在本文中，我们介绍如何使用最长递增索引划分子序列的长度来解决这个问题。

原理

给定序列 A，定义 B 为一个数组，其中 B[i] 记录 A[0:i] 中最长递增子序列的长度，例如：

A: [0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9]
B: [1, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 5]

对于 B[0:i]，我们可以使用动态规划的方法计算 B[i]，也就是最长递增子序列的长度。具体地，我们从 B[0:i-1] 中找出所有小于 A[i] 的元素对应的 B[j]，然后取其中的最大值加 1，即可得到 B[i]。

基于这个原理，我们可以轻松地计算出序列 A 中的最长递增子序列的长度。

def longest_increasing_subsequence_length(A):
    """
    返回序列 A 的最长递增子序列的长度。
    """
    n = len(A)
    B = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if A[j] < A[i]:
                B[i] = max(B[i], B[j] + 1)
    return max(B)

总结

最长递增索引划分子序列的长度是解决最长递增子序列问题的一种有效方法。它的时间复杂度为 O(n^2)，可以在很短的时间内处理大规模数据。