从除相同索引的元素以外的所有元素的XOR数组构造以K开头的原始数组

背景

在计算机科学中，异或（XOR）是常用的二进制运算符，用于比较两个二进制数的对应位。当两个相应的位不同时，结果为1，否则结果为0。在某些问题中，可以通过异或来解决一些特定的问题。

本文将讨论如何从除相同索引的元素以外的所有元素的XOR数组构造以K开头的原始数组。

问题描述

假设有一个长度为 n 的整数数组 arr 和一个整数 k。已知一个长度为 n - 1 的数组 brr，其中 brr[i] = arr[i] XOR arr[i+1]（0 <= i < n-1）。现在要构造一个以 k 为首项的长度为 n 的原始数组 arr。

解决方案

我们首先考虑怎么从一个原始数组 arr 构建一个 brr。

假设原始数组 arr 为 A = [a1, a2, a3, ..., an]，那么其 XOR 数组 brr 为:

B = [a1^a2, a2^a3, ..., an-1^an]

可以注意到，对于相邻的两项，有：

a1^a2^a2^a3 = a1^a3
a2^a3^a3^a4 = a2^a4
...
an-2^an-1^an-1^an = an-2^an

由此可以推出，如果 brr[i] = arr[i] XOR arr[i+1]，则可得到：

arr[i+1] = brr[i] XOR arr[i]

从而可以使用以上公式反推原始数组。因为已知第一项 k，所以可以依次计算其他项的值，从而重建原始数组。

代码示例

下面是 Python 的示例代码：

def generate_array(k: int, brr: List[int]) -> List[int]:
    n = len(brr) + 1
    arr = [k] + [0] * (n-1)
    for i in range(n-1):
        arr[i+1] = brr[i] ^ arr[i]
    return arr

返回的是以 k 为首项的原始数组，其中 brr 是其 XOR 数组。

总结

本文介绍了如何从除相同索引的元素以外的所有元素的XOR数组构造以K开头的原始数组。该问题利用异或运算的性质，依次计算每一项的值，从而构建原始数组。在实际应用中，该算法可以用于加密、校验等领域。