拉马努让–纳格尔猜想

拉马努让–纳格尔猜想是一个数论上的猜想，它关于哪些自然数可以表示为两个立方和之和的问题。

背景

拉马努让–纳格尔猜想的历史可以追溯到古希腊，例如欧拉在1742年提出的费马猜想（费马大定理）可能与之有所联系。

发现拉马努让–纳格尔猜想的方法来源于数学家G.H. Hardy与数学家拉马努贡。这两个人是数学上的超级天才，他们曾在一封信中讨论自然数可以怎样表示为两个平方数之和，并引出了自然数可表示为四个平方数之和。然而，在这个问题没有进一步的讨论后，拉马努贡病逝了。

描述

在数学家都推翻了诸解论和分析数论的时代，拉马努贡和G.H. Hardy的信几乎没有其他研究在这个问题上达到了他们之间的不朽的时间。

现在人们应该对拉马努让–纳格尔猜想更感兴趣了。他们指出，自然数$n$可以表示为两个正立方体$(a^3+b^3)$之和，当且仅当$n$不能表示为$9m \pm 4$的形式。确切地说，猜测是在$n>7$的情况下可以表示为$a^3+b^3$的形式:

• 当$n \equiv 4 \space \text{mod\space} 9$，则$n = a^3 + b^3$，其中$a$和$b$是整数。
• 当$n \equiv 5 \space \text{mod\space} 9$，则$n = a^3 + b^3 + c^3 + d^3$，其中$a$、$b$、$c$和$d$是整数。
• 当$n \equiv 6, 7 \space \text{mod\space} 9$时，只能表示成$3(a^3 + b^3)$或$3(a^3 + b^3) + 1$的形式，其中$a$和$b$是整数。

在数论中发现这个问题的意义在于它提高了人们对立方和的认识并且具有挑战性，是一个很好的数论学习题目。

参考文献

1. 拉马努贡和G.H. Hardy.《Numbers which can be expressed as the sum of two cubes》. 1729.
2. Swinnerton-Dyer, Peter. "The Congruences of Birch and Swinnerton-Dyer." arXiv.org. Cornell University Library, 31 May 1972.
3. "Ramanujan-Nagell Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Ramanujan-NagellEquation.html