推导 Pure ALOHA 协议的效率

简介

Pure ALOHA 是一种链路层协议，旨在为传输数据的节点提供一种共享媒介的方式。该协议基于以下假设：

• 节点之间的通信采用广播方式，当一个节点想要发送数据时，它会通过无线电信号在共享媒介上广播数据。
• 当数据包碰撞时，即两个或多个节点同时尝试在相同时间点发送数据时，所有节点都会感知到一个碰撞事件，并等待一个随机时间间隔后再次尝试发送数据。

在本文中，我们将推导 Pure ALOHA 协议的效率，即成功发送数据包的概率随着节点数量的增加而发生的变化。

推导过程

假设在媒介上存在 $ n $ 个节点，每个节点都有 $ p $ 的概率在任意时间点尝试发送数据包。那么任何一个时刻，都有 $ np $ 的概率有一个节点试图发送数据包。因此，某个节点成功发送数据包的概率是等于以下两个事件中至少一个发生的概率：

• 该节点在任意时刻都未曾发送过数据包，并在 $ T $ 秒内没有新的数据包与其发生碰撞。
• 其他节点都不尝试在该节点发送数据包的同时发送数据包。

对于第一个事件，假设该节点发送数据包的尝试间隔服从均匀分布，$ T $ 秒内的任意时间点都有相等的可能成为尝试时间点。因此，某个节点可以成功发送数据包的概率为：

$$ P_s = np(1 - np)^{n-1} $$

对于第二个事件，我们可以假设每个节点尝试发送数据包的时间点都是随机的、独立的，并且具有相同的概率。当有一个节点在给定时刻 $ t $ 发送数据包时，任何其他节点在该时刻尝试发送数据包的概率是 $ p(1-p)^{n-1} $。因此，所有节点都不在该节点发送数据包的同时发送数据包的概率是：

$$ 1 - p(1-p)^{n-1} $$

其中，$ p(1-p)^{n-1} $ 表示在给定时刻有一个节点尝试发送数据包的概率。因此，某个节点成功发送数据包的总概率为：

$$ P = P_s(1 - p(1-p)^{n-1}) $$

效率分析

我们可以使用不同节点数量时的平均成功发送数据包概率来比较 Pure ALOHA 协议的效率。因此，我们可以将上述公式展开，得到以下平均成功概率：

$$ P_{avg} = \sum_{i=1}^n P_i = \sum_{i=1}^n np_i(1 - p_i)^{n-1}(1 - p(1-p)^{n-1}) $$

其中，$ p_i $ 表示第 $ i $ 个节点在任意时刻尝试发送数据包的概率。

我们可以使用类似的方式分析其他协议的效率，例如 Slotted ALOHA 和 CSMA/CD。相比之下，Pure ALOHA 协议的效率相对较低，因为它允许了碰撞事件的发生，从而导致了较低的平均成功概率。

结论

在本文中，我们推导了 Pure ALOHA 协议的效率，并分析了该协议与其他常见协议的比较。虽然 Pure ALOHA 协议简单、易于实现，但其效率相对较低，因此通常不推荐在大型网络中使用该协议。