题目介绍

本题给出一个三角函数的条件，要求检查一个三角函数式子是否成立。具体条件如下：

如果 $3 \cot A = 4$，则检查 $(1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) = \cos2A - \sin2A$ 是否成立。

解题思路

首先根据三角函数的定义，$\cot A = \frac{1}{\tan A}$，因此给出的条件可以转化为：

$$\frac{3}{\tan A} = 4$$

解得 $\tan A = \frac{3}{4}$。

然后对等式进行展开变形，得到：

$$\begin{aligned}& (1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) - (\cos^2 A - \sin^2 A) \ =& \left(1 - \frac{9}{16}\right)\left(1 + \frac{9}{16}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \ =& \frac{35}{16} - \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \ =& \frac{1225 - 256 - 81}{400} \ =& \frac{888}{400} \ =& \frac{222}{100} \ =& 2.22\end{aligned}$$

同时，计算 $\cos2A - \sin2A$ 的值为：

$$\cos2A - \sin2A = \cos^2 A - \sin^2 A - 2\sin A \cos A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} - 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{8}{25} = -0.32$$

因此，两边的值不相等，所以 $(1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) = \cos2A - \sin2A$ 不成立。

代码实现

# 题目介绍

本题给出一个三角函数的条件，要求检查一个三角函数式子是否成立。具体条件如下：

如果 $3 \cot A = 4$，则检查 $(1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) = \cos2A - \sin2A$ 是否成立。

# 解题思路

首先根据三角函数的定义，$\cot A = \frac{1}{\tan A}$，因此给出的条件可以转化为：

$$\frac{3}{\tan A} = 4$$

解得 $\tan A = \frac{3}{4}$。

然后对等式进行展开变形，得到：

$$\begin{aligned}& (1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) - (\cos^2 A - \sin^2 A) \\ =& \left(1 - \frac{9}{16}\right)\left(1 + \frac{9}{16}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ =& \frac{35}{16} - \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ =& \frac{1225 - 256 - 81}{400} \\ =& \frac{888}{400} \\ =& \frac{222}{100} \\ =& 2.22\end{aligned}$$

同时，计算 $\cos2A - \sin2A$ 的值为：

$$\cos2A - \sin2A = \cos^2 A - \sin^2 A - 2\sin A \cos A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} - 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{8}{25} = -0.32$$

因此，两边的值不相等，所以 $(1 - \tan^2 A)(1 + \tan^2 A) = \cos2A - \sin2A$ 不成立。