里面没有点的三角形

在计算几何中，有一种特殊的三角形，其内部不包含任何点，称为“里面没有点的三角形”。这种三角形是一些凸多边形的特殊情况，由于其特殊性质，常常被用于算法设计中。

特性

• 没有点在其内部
• 可以看作是一个凸多边形
• 任意两个顶点之间的连线都在其外部

应用

1. 最大空凸包问题

求解一个点集中面积最大的凸包，可以先求出这些点围成区域的面积，然后找到内部没有点的三角形，将该三角形的面积从总面积中减去，这样得到的面积就是最大凸包的面积。

2. 计算几何中的图形相交问题

在计算几何中，经常需要判断两个图形是否相交，此时可以利用“里面没有点的三角形”来判断。对于两个围成凸多边形的点集，如果共用了一个“里面没有点的三角形”，那么这两个多边形一定不相交。

3. 一些其他算法中的应用

“里面没有点的三角形”还有其他一些应用，比如在单纯形法、有限元法等算法中，都可以看到它的身影。

实现

对于一个给定的点集，可以通过下面的步骤来求解一个“里面没有点的三角形”：

1. 先求出这个点集的凸包
2. 求出凸包中最长的一条边
3. 连接最长边的两个端点及它们之间的中点，得到一个三角形，即为“里面没有点的三角形”

下面是一个Python代码片段，用于实现上述步骤：

def get_triangle(points):
    hull = ConvexHull(points)
    max_dist, max_i, max_j = 0, 0, 0
    for i in range(len(hull.vertices)):
        for j in range(i+1, len(hull.vertices)):
            d = distance(points[hull.vertices[i]], points[hull.vertices[j]])
            if d > max_dist:
                max_dist, max_i, max_j = d, i, j
    mid = midpoint(points[hull.vertices[max_i]], points[hull.vertices[max_j]])
    triangle = [points[hull.vertices[max_i]], mid, points[hull.vertices[max_j]]]
    return triangle

其中，ConvexHull函数是用于求解凸包的函数，distance函数是用于计算两个点之间距离的函数，midpoint函数是用于求两点连线中点的函数。

总结

“里面没有点的三角形”是计算几何中的一个特殊概念，具有一些独特的特性，应用场景也比较广泛。在算法设计和实现中，如果遇到相关问题，可以考虑使用这个概念来简化问题的求解。