一个字符串在其所有子字符串中的词典排名

有一个长度为n的字符串s，现在需要计算其所有子字符串在所有以该字符串为前缀的字符串中的字典序排名，即所有前缀字符串中包含该子字符串的数量。

算法思路

对于每个子字符串，可以使用Trie树来统计包含该子字符串的前缀数量。统计前缀数量的方法是在Trie树中从根节点开始匹配子字符串的每个字符，如果能够匹配则继续往下匹配，如果匹配到某个节点时没有匹配的字符，则统计该节点的子树大小。

统计完成后，可以使用后缀数组或者Manacher算法来计算每个子字符串的排名。

算法步骤

1. 使用Trie树统计包含每个子字符串的前缀数量；
2. 整理包含每个子字符串的前缀数量，并按字典序排序，记录排序结果；
3. 使用后缀数组或者Manacher算法计算每个子字符串的排名。

代码实现

def dictionary_rank(s: str) -> List[int]:
    """计算子串在以s为前缀的字符串中的字典序排名"""
    
    # 构建Trie树
    trie = {}
    size = {}
    for i in range(len(s)):
        node = trie
        for c in s[i:]:
            if c not in node:
                node[c] = {}
            node = node[c]
            size[node] = size.get(node, 0) + 1
    
    # 统计包含每个子串的前缀数量
    rank = defaultdict(int)
    stack = [(trie, 0)]
    while stack:
        node, i = stack.pop()
        if i == len(s):
            continue
        for c in node.keys():
            if c == s[i]:
                stack.append((node[c], i + 1))
                rank[s[i : i + len(node[c])]] += size[node[c]]
    
    # 按字典序排序
    result = [(k, v) for k, v in rank.items()]
    result.sort()
    
    # 计算排名
    rank = [0] * len(result)
    for i in range(len(result)):
        if i > 0 and result[i - 1][0] == result[i][0][:-1]:
            rank[i] = rank[i - 1]
        else:
            rank[i] = i + 1
    
    # 返回排名
    return [rank[result.index((s[i:], v))] for i in range(len(s))]

优化思路

上述算法的时间复杂度是O(n^2)，其中大部分时间用于构建Trie树和统计子树大小。如果使用树状数组或线段树来维护子树大小，可以将时间复杂度优化到O(n log n)。

总结

本文介绍了一个字符串在其所有子字符串中的词典排名的算法，该算法使用Trie树来统计包含子字符串的前缀数量，并使用后缀数组或Manacher算法计算每个子字符串的排名。该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以使用树状数组或线段树来优化。该算法可以用于字符串匹配、模板匹配等场景。