找到前 K 个字母具有相同频率的最长子序列的长度

在文本分析、字符串处理等领域，找到出现频率最高的字符是一项经常需要解决的问题。本篇文章介绍如何找到前 K 个字母具有相同频率的最长子序列的长度。

问题描述

有一个字符串，我们需要找到该字符串中前 K 个字母具有相同频率的最长子序列的长度。具体而言，我们需要找到：

• 出现频率排名前 K 的字符，且它们的出现次数相同；
• 这些字符在原字符串中连续出现。

解决方案

一个简单的想法是，我们可以遍历字符串的所有子序列，并统计每个子序列中每个字母的出现次数，然后找出出现频率排名前 K 的字母组成的子序列中最长的那个。

但这种方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，对于较长的字符串是不可行的。

我们可以使用一个滑动窗口来解决这个问题。我们维护一个双端队列，用于存储当前窗口内出现次数排名前 K 的字母。我们还需要维护一个计数器，用于记录当前窗口内每个字母的出现次数。

具体而言，我们按照以下步骤运行程序：

1. 将双端队列清空，计数器初始化为 0。
2. 以 $i=0$ 开始遍历字符串。每当遍历到一个字符 $c$ 时，我们将该字符的出现次数增加 1，计数器加一。
3. 如果字符 $c$ 在队列中出现过，则将它从队列中删除。
4. 将字符 $c$ 插入队列尾部，并根据它的出现次数，从队尾开始向左遍历队列，将其余字母删除，直到队列中剩余的字母出现次数比字母 $c$ 小。
5. 如果队列长度超过 K，将队列头部的元素删除。
6. 我们记录当前窗口的长度 $l$。如果队列中字符的出现次数均为 $q$ 次，则更新最长子序列长度为 $\max(l,\ k \times q)$。

为什么这个算法正确呢？首先，我们可以证明，窗口的左端点向右移动时，队列中出现次数排名前 K 的字母的出现次数一定会单调不降。也就是说，如果在 $i$ 时刻队列中所有字母的出现次数均为 $q$，那么在 $i+1$ 时刻也是如此，因为我们只会增加出现次数排名前 K 的字母的出现次数，而不会增加其他字母的出现次数。因此，我们只需要在队列中记录出现次数排名前 K 的字母即可，其余字母的出现次数不用关心。

复杂度分析

这个算法的时间复杂度为 $O(n)$，因为每个字符最多被加入或删除队列一次。空间复杂度为 $O(k)$，因为队列的长度最多为 K。

代码实现

下面给出 Python 代码的实现。

from collections import defaultdict, deque

def longest_subsequence(s: str, k: int) -> int:
    max_len = 0
    count = defaultdict(int)
    q = deque()
    for i, c in enumerate(s):
        count[c] += 1
        while q and count[q[-1]] < count[c]:
            q.pop()
        q.append(c)
        if len(q) > k:
            count[q[0]] -= 1
            q.popleft()
        if i == len(s) - 1 or count[q[0]] == count[q[-1]] and len(q) == k:
            max_len = max(max_len, len(q) * count[q[0]])
    return max_len

总结

本篇文章介绍了如何找到一个字符串中前 K 个字母具有相同频率的最长子序列的长度。我们介绍了一个时间复杂度为 $O(n)$ 的滑动窗口算法，该算法的思路也可以延伸到其他的字符串处理问题中。