基于比较的排序算法的下限

排序是计算机科学中的基础问题之一，而基于比较的排序算法是解决排序问题的一种最基本的方法。在这篇文章中，我们将讨论基于比较的排序算法的下限。

在计算机科学中，下限是一个算法必须执行的最少步数或运算量。因此，基于比较的排序算法的下限指的是在使用任何基于比较的排序算法进行排序时，必须执行的最少比较次数。

决策树模型

为了找到比较排序算法的下限，研究者们使用了决策树模型。决策树模型是一个树形结构，其中每个叶子节点对应一个满足排序条件的输入序列，每个非叶子节点表示一次比较操作。在决策树中，从根节点到每个叶子节点的路径都代表了一个输入序列的排序过程。因此，决策树的叶子节点数对应了所有可能的输入序列数量。

对于$n$个元素的输入序列，它的决策树的高度是$\log_2n!$。因此，任何基于比较的排序算法的下限都必须大于等于$\log_2n!$。这是由于任何基于比较的排序算法都必须根据输入序列的顺序决定它们的排序顺序。

比较排序算法的下限

根据决策树模型，我们可以计算出不同输入规模$n$对应的比较排序算法的下限。下面是一些红黑树的下限:

| 输入规模$n$ | 下限 | | ----------- | ---- | | 1 | 0 | | 2 | 1 | | 3 | 2 | | 4 | 4 | | 5 | 4 | | 6 | 5 | | 7 | 6 | | 8 | 7 | | 9 | 8 | | 10 | 9 | | 11 | 10 | | 12 | 11 | | 13 | 11 | | 14 | 12 | | 15 | 13 | | 16 | 14 | | 17 | 15 | | 18 | 16 | | 19 | 17 | | 20 | 18 |

这种下限的计算方法被称为比较排序算法的下限。在计算机科学中，比较排序算法下限是一个重要的研究问题，它不仅是评估排序算法的性能的基准，而且可以帮助我们发现新的排序算法。