求三元组 A、B、C 相互按位或按位与为 K

在计算机科学中，按位或和按位与是常见的二进制操作。对于三个二进制数 A、B、C，我们可以通过按位或和按位与来判断它们是否有某一位相同。本文将介绍如何求三元组 A、B、C 相互按位或按位与为 K 的问题，以及一些解决方式。

问题描述

给定三个长度相同的二进制数 A、B、C，以及一个二进制数 K，求有多少个三元组 A、B、C 满足以下条件：

• A 与 B 与 C 按位或的结果等于 K；
• A 与 B 与 C 按位与的结果等于 K。

解决方案

1. 枚举解法

最简单直接的方法是枚举 A、B、C 的所有组合，然后计算它们的按位或和按位与是否等于 K。时间复杂度为 O(2^(L*3))，其中 L 是每个二进制数的长度。这种方法的缺点是时间复杂度非常高，当 L 较大时会变得不现实。

2. 散列解法

为了减少时间复杂度，我们可以使用散列，将所有可能的 A 与 B 的按位或结果映射为一个桶，桶内存储所有可能的 C 的按位与结果。然后再遍历 K，统计每个桶内有多少 C 满足条件。具体步骤如下：

1. 对于所有可能的 A、B 的按位或结果，将它们映射到一个桶内。
2. 对于每个桶，将其中所有可能的 C 的按位与结果存储起来。
3. 遍历 K，对于每个按位或结果，统计桶内按位与结果等于 K 的 C 的数量。

这种方法的时间复杂度为 O(2^(L/2)*L)，空间复杂度为 O(2^(L/2)*L)。其中 L/2 是因为在每个桶内存储的是 A、B 按位或结果的一半。

3. 位运算解法

还有一种方法是使用位运算和 bitset，同样利用了按位或和按位与的特性。具体步骤如下：

1. 对于每个二进制数 A、B、C，将其转换为一个位集。
2. 对于每一位进行遍历，用按位或的结果更新 K 的该位。
3. 对于每一个位 K_i，统计有多少个三元组 A、B、C 满足以下两个条件：
   • A_i 或 B_i 或 C_i 等于 1；
   • 若 K_i 等于 1，则 A_i、B_i、C_i 必须至少有一个等于 1。

这种方法的时间复杂度为 O(L*2^L)，空间复杂度为 O(2^L)。

代码示例

下面是使用 C++ 实现的散列解法和位运算解法的代码片段。

// 散列解法
int countTriplets(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, vector<int>& K) {
    int res = 0;
    int L = A.size();
    unordered_map<int, unordered_set<int>> mp; // 桶
    for (int i = 0; i < L; i++) {
        for (int j = 0; j < L; j++) {
            mp[A[i] | B[j]].insert(C[i] & C[j]);
        }
    }
    for (int k : K) {
        for (const auto& [or_res, and_set] : mp) {
            int and_count = 0;
            for (int and_res : and_set) {
                if ((or_res | and_res) == k) {
                    and_count++;
                }
            }
            res += and_count * and_set.size(); // 二者乘积即为满足条件的三元组数量
        }
    }
    return res;
}

// 位运算解法
int countTriplets(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, vector<int>& K) {
    int res = 0;
    int L = A.size();
    vector<bitset<32>> a(L), b(L), c(L);
    for (int i = 0; i < L; i++) {
        a[i] = A[i];
        b[i] = B[i];
        c[i] = C[i];
    }
    bitset<32> k(K[0]);
    for (int i = 1; i < L; i++) {
        k |= K[i];
    }
    for (int i = 0; i < 32; i++) {
        if (k[i] == 1) {
            int count = 0;
            for (int a_i = 0; a_i < L; a_i++) {
                if ((a[a_i][i] | b[a_i][i] | c[a_i][i]) == 1) {
                    count++;
                }
            }
            if (count == 0) {
                continue;
            }
            if (k[i] == 0) {
                res += count * (L - count) * L;
            } else {
                int ac_count = 0, bc_count = 0, abc_count = 0;
                for (int a_i = 0; a_i < L; a_i++) {
                    if (a[a_i][i] == 1 && c[a_i][i] == 1 && (b[a_i][i] == 1 || count == L)) {
                        ac_count++;
                    }
                    if (b[a_i][i] == 1 && c[a_i][i] == 1 && (a[a_i][i] == 1 || count == L)) {
                        bc_count++;
                    }
                    if (a[a_i][i] == 1 && b[a_i][i] == 1 && c[a_i][i] == 1) {
                        abc_count++;
                    }
                }
                res += ac_count * bc_count + abc_count * (count - ac_count) * (count - bc_count);
            }
        }
    }
    return res;
}

总结

本文介绍了如何求三元组 A、B、C 相互按位或按位与为 K 的问题。虽然枚举解法最直接，但时间复杂度非常高，不适用于长度较大的二进制数。散列和位运算是两个更高效的解决方案，它们分别利用散列和按位或的特性。需要注意的是，当 K 中某一位为 1 时，要分情况讨论该位对应的 A、B、C 是否必须有一个为 1。