介绍

在很多场景下，我们需要检查一个排列是否可以按照顺时针或逆时针方向计数。比如在旅游景点、比赛场馆等场所，往往有要求游客、选手按照顺时针或逆时针方向进行参观或比赛。这时，我们就需要编写程序来检查排列是否符合要求。

解决方案

我们可以使用以下两种方法来检查给定的1到N的排列是否可以顺时针或逆时针方向计数：

方法一：暴力枚举

首先，我们可以先确定排列的第一个元素。然后，根据顺时针或逆时针的要求，依次检查排列中相邻元素是否符合要求。如果最后一个元素与第一个元素符合要求，则返回true，否则返回false。

以下是Java代码示例：

public boolean checkClockwise(int[] permutation) {
    int n = permutation.length;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int cur = permutation[i];
        int next = permutation[(i + 1) % n];
        if (next != (cur + 1) % n) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

public boolean checkCounterclockwise(int[] permutation) {
    int n = permutation.length;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int cur = permutation[i];
        int next = permutation[(i + n - 1) % n];
        if (next != (cur + 1) % n) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

方法二：数学推导

事实上，上面的方法存在重复计算的问题。我们可以通过数学推导，简化计算过程。

首先，对于顺时针方向计数，我们需要满足以下条件：

• 每两个相邻元素之差为1，即相邻元素的排序差1。
• 最后一个元素必须比第一个元素小1。

$$p_1 - p_n = n - 1$$ $$p_{i+1}-pi=1$$

将上述公式相加：

$$p_2-p_1+p_3-p_2+...+p_n-p_{n-1}=n-1$$

化简：

$$p_n-p_1+n-1=n-1$$

得出：

$$p_n=p_1$$

同理，对于逆时针方向计数，我们需要满足以下条件：

• 每两个相邻元素之差为1，即相邻元素的排序差1。
• 第一个元素必须比最后一个元素小1。

$$p_{i+1} - pi=1$$ $$p_n - p_1 = n - 1$$

相加：

$$p_{n-1}-p_n+p_{n-2}-p_{n-1}+...+p_1-p_2=n-1$$

化简：

$$p_n-p_1+n-1=n-1$$

得出：

$$p_n=p_1-1$$

以下是Java代码示例：

public boolean checkClockwise(int[] permutation) {
    int n = permutation.length;
    int first = permutation[0];
    int last = permutation[n-1];
    return last == (first + n - 1) % n
        && IntStream.range(1, n).allMatch(i -> permutation[i] == (permutation[i-1] + 1) % n);
}

public boolean checkCounterclockwise(int[] permutation) {
    int n = permutation.length;
    int first = permutation[0];
    int last = permutation[n-1];
    return first == (last + 1) % n
        && IntStream.range(1, n).allMatch(i -> permutation[i] == (permutation[i-1] + 1) % n);
}