通过为子序列中的元素分配交替的正号和负号，可能的最大和

在面试或竞赛中，有时候需要解决这样一类问题：给定一个序列，通过为其元素分配交替的正号和负号，使得得到的所有可能子序列和的最大值。

例如，对于序列 [2, -3, 1, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，我们可以分别选取正负号为 [+,-,+,-,-,+,-,-,+ ]，得到的所有子序列和的最大值为 11。

那么，我们如何计算这个最大值呢？本文将介绍一种常见的解决方法，即「动态规划」。

解决方法

定义状态

我们定义一个二维数组 $dp_{i,j}$，表示选取了前 $i$ 个元素，并且最后一项的符号为 $1$ 或 $-1$（分别代表正号和负号）时，所能获得的最大子序列和。状态转移方程如下：

$$ dp_{i,1} = \max(dp_{i-1,1}+a_i, dp_{i-1,-1}-a_i) $$

$$ dp_{i,-1} = \max(dp_{i-1,-1}+a_i, dp_{i-1,1}-a_i) $$

其中 $a_i$ 是序列的第 $i$ 项，$dp_{0,1} = dp_{0,-1} = 0$。

计算最终结果

最终的答案即为 $\max(dp_{i,1}, dp_{i,-1})$，其中 $1 \leq i \leq n$，$n$ 是序列长度。

实现代码

下面是 Python 代码实现：

def max_alternating_sum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [[0] * 2 for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = max(dp[i-1][1] + nums[i-1], dp[i-1][-1] - nums[i-1])
        dp[i][-1] = max(dp[i-1][-1] + nums[i-1], dp[i-1][1] - nums[i-1])
    return max(dp[-1][1], dp[-1][-1])

时间复杂度

由于需要计算二维数组 $dp$ 中的每个元素，因此时间复杂度为 $O(n)$。

总结

通过为子序列中的元素分配交替的正号和负号，可能的最大和是一类常见的问题，在竞赛和面试中常常会遇到。本文介绍了一种常见的解决方法，即「动态规划」。我们可以定义二维数组 $dp_{i,j}$，求解每个元素的最大值，并得到最终的结果。实践中应当多加练习，将动态规划的思想理解熟练并掌握。