统计-置换置换

什么是置换？

在数学中，置换是一种重要的概念，它表示将某些对象重新排列的操作。例如，将一个字符串的字符重新排列，得到一个新的字符串，这就是一个置换。

在计算机科学中，置换通常用于排序、加密、解密等应用场合。

置换的表示方法

置换可以用多种方式表示，其中最常用的是“置换表”和“置换循环”。

比如，将一个字符串abcdefg的字符重新排列成edfabcg，这个置换可以用以下两种方法表示：

• 置换表：1->5, 2->4, 3->6, 4->1, 5->2, 6->3, 7->7
• 置换循环：(1 5 2 4)(3 6)

其中，置换表表示的方式比较直观，而置换循环表示的方式则更加紧凑。

置换的操作

置换有两个基本的操作：

• 组合：将两个置换组合在一起，得到一个新的置换。
• 逆置换：将一个置换“倒过来”，得到一个新的置换，可用于解密等应用场合。

统计置换的数量

对于一个给定的集合，它的置换数量可以通过如下公式计算：

N = 1! + 2! + ... + n!

其中，n代表集合中元素的个数，!表示阶乘。

例如，对于一个包含3个元素的集合，它的置换数量为1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9。

这个公式的证明比较复杂，我们这里不再赘述，感兴趣的读者可以参考相关的数学教材。

置换的实现

在程序中，置换通常可以用数组或链表来表示。数组的实现比较简单，可以将置换表中的每一个元素存入数组相应的位置中。链表的实现则更加灵活，可以表示置换循环等更加复杂的置换操作。

以下是一个使用链表实现置换操作的示例代码：

class Permutation:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.p = [-1] * n

    def __repr__(self):
        return "Permutation({})".format(list(self))

    def __getitem__(self, i):
        return self.p[i]

    def __setitem__(self, i, v):
        self.p[i] = v

    def __len__(self):
        return len(self.p)

    def __iter__(self):
        return iter(self.p)

    def __eq__(self, other):
        return list(self) == list(other)

    def __ne__(self, other):
        return not (self == other)

    def identity(n):
        p = Permutation(n)
        for i in range(n):
            p[i] = i
        return p

    def inverse(self):
        q = Permutation(self.n)
        for i, j in enumerate(self.p):
            q[j] = i
        return q

    def compose(self, other):
        p = Permutation(self.n)
        for i in range(self.n):
            p[i] = self[other[i]]
        return p

    def cycle(self, i):
        j = self.p[i]
        while j != i:
            j = self.p[j]
        return j

    def cycles(self):
        visited = [False] * self.n
        ans = []
        for i in range(self.n):
            if not visited[i]:
                cycle = []
                j = i
                while not visited[j]:
                    visited[j] = True
                    cycle.append(j)
                    j = self.p[j]
                ans.append(cycle)
        return ans

这个示例代码实现了置换的基本操作，包括组合、逆置换、置换循环等。实际使用时，可以根据具体的应用场合选择相应的实现方式。

总结

统计-置换置换是一个重要的数学概念，在计算机科学中得到了广泛的应用。掌握置换的基本操作和实现方式，有助于我们更加高效地处理相关的问题。