通过最多K次将数组元素重复除以2，可以最大程度地增加数组中1s的计数

在算法竞赛中，经常会有让我们通过最多K次将数组元素重复除以2的题目，来尝试最大程度地增加数组中1s的计数。这里我们先简单介绍一下这类问题的思路和常见的解法。

问题描述

给定一个长度为$n$的01序列$A$和一个正整数$K$，每次操作可以将$A$中的一个数除以2，直到$A$中任意一个数的值不大于1，且操作次数不能超过$K$次。请问能够得到的最多的1的个数是多少？

思路分析

贪心思路

首先，我们可以尝试采用一种贪心的思路来求解。考虑某个$A_i>1$，如果我们能够将其除以$2$，那么显然会增加一个1，我们就可以想着通过不断将$A_i$除以$2$，来增加数组$A$中$1$的个数，直到不能继续操作为止。

我们可以尝试用堆来维护$A$中大于$1$的元素，每次取出一个最大的元素进行除以$2$的操作，直到操作次数达到上限或者堆中不存在大于$1$的元素。这个贪心策略并不是最优的，因为每次选择最大的数进行操作并不一定能得到最优解，而且我们需要不停地对堆进行维护，所以时间复杂度并不优秀。

动态规划思路

接下来我们可以从动态规划的角度来思考这个问题。我们设$dp_{i,j}$表示在前$i$个元素中使用$j$次操作所得到的最多的$1$的个数，那么我们可以把问题转化为：将第$i$个数尽可能除以$2$，然后剩下的数中使用$j-1$次操作得到的最多的$1$的个数。

于是我们可以得到状态转移方程：

$$ dp_{i,j}=\max\left{dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-1}+\text{pop_count}(a_i)\right} $$

其中$\text{pop_count}(x)$表示把$x$看成二进制数时$1$的个数。

我们可以用记忆化搜索或者自底向上的方式求解这个问题，时间复杂度为$O(nk\log n)$。

代码实现

以下是采用自底向上的方法实现动态规划的代码：

def max_ones(A, K):
    n = len(A)
    dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(K + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            if A[i - 1] > 1 and j > 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + bin(A[i - 1]).count('1'))
    return dp[n][K]

该函数的时间复杂度为$O(nk\log n)$，可以处理$n\leq10^3$，$k\leq10^3$的数据。