通过将每步乘以2、3、4或5从1达到N的最小步长

在编程领域，有一类问题是求解通过对一个数字进行一系列乘法操作后得到另一个数字的最小步长。本文将介绍如何通过将每步乘以2、3、4或5从1达到N的最小步长。

问题引入

假设有两个正整数 a 和 b (a < b)，现在可进行如下操作:

• 将 a 乘以 2、3、4、5，得到结果 aa1、aa2、aa3、aa4；
• 将 aa1、aa2、aa3 和 aa4 进行同样的操作，得到结果 aaaa1、aaaa2、aaaa3、aaaa4、aaaa5、aaaa6、aaaa7、aaaa8；
• 以此类推，直到得到 b。

其中，每次操作计为一步。问最少需要多少步才可以得到 b。

举例说明，当 a=1，b=16 时，可以通过以下两种方法得到 b：

• 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16，需要 4 步；
• 1 -> 5 -> 10 -> 15 -> 16，需要 4 步。

那么如何编写程序来求解这个问题呢？下面将介绍两个解法。

解法一

思路

首先可以尝试暴力搜索，穷举所有可能性。从 a 开始，每次尝试乘以 2、3、4 或 5，直到得到 b 为止。在过程中记录下所用的步数，最后返回最小步数。

代码实现

下面给出 Python 代码实现：

def min_steps(a, b):
    if a >= b:
        return 0
    return min(min_steps(a*2, b), min_steps(a*3, b), min_steps(a*4, b), min_steps(a*5, b)) + 1

代码中的 min_steps 函数接收两个参数，分别为 a 和 b。如果 a 大于或等于 b，则不需要任何操作，直接返回步数为 0。否则，对于每次操作，使用递归的方式求解剩余部分（即从 aa1、aa2、aa3 和 aa4 开始重复上述过程），并返回最小步数加一。最后返回所有操作中最小的步数。

复杂度分析

该方法的时间复杂度为 O(4ⁿ)，n 为 a 到 b 的距离。因为每次有 4 种操作（乘以 2、3、4 或 5），且每次都进行递归搜索。因此，该方法在实际应用中可能会面临时间复杂度过高的问题。

解法二

思路

基于解法一的原理，可以使用动态规划的方式来改进搜索效率。具体来说，定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示从 1 到 i 的最小步数。在进行计算时，对于每个数字 i，分别尝试通过 i//2、i//3、i//4 和 i//5 得到 i，记录下最小步数。

代码实现

下面给出 Python 代码实现：

def min_steps(a, b):
    dp = [0] * (b+1)
    for i in range(2, b+1):
        dp[i] = dp[i-1] + 1
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//2] + 1)
        if i % 3 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//3] + 1)
        if i % 4 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//4] + 1)
        if i % 5 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//5] + 1)
    return dp[b] - dp[a]

代码中的 dp 数组保存了每个数字的最小步数，初始值为 0。对于从 2 到 b 的每个数字 i，定义 dp[i] 为 dp[i-1] + 1，并分别尝试通过 i//2、i//3、i//4 和 i//5 得到 i，更新 dp[i] 的值。

最后，返回 dp[b] - dp[a]，即从 a 到 b 的最小步数。

复杂度分析

该方法的时间复杂度为 O(n)，n 为 a 到 b 的距离。因为只需对 n 个数字进行一次遍历，并尝试 4 种操作，因此时间复杂度较低，可以很好地应用到实际问题中。

结论

通过本文介绍的两种方法，你已经学会了如何求解通过将每步乘以2、3、4或5从1达到N的最小步长。如果你还有其他问题或疑问，可以在评论区留言。感谢阅读！