最大交点 n 条线

最大交点 n 条线是一道经典的计算几何问题，经常被用于考察程序员的算法能力和编程实现能力。问题描述为：给定平面上的 n 条线段，求这些线段中最多有多少个点在同一位置上（即交点个数最大是多少）。

常用解法

扫描线算法

扫描线算法是本问题的经典求解方法。该算法基于以下观察：在一条竖直的扫描线从左向右移动的过程中，线段之间的交点必然在某个时间点上经过该扫描线。

因此我们可以将所有线段按照左端点从左到右排序，并从左到右依次扫描每条线段。在扫描到一条线段时，将其加入扫描线中，并维护当前扫描线中线段的交点个数。当扫描到一条线段的右端点时，将其从扫描线中删除。

具体来说，我们可以将每个左端点和右端点视为事件，并将事件按照从左到右的顺序排序。外层循环依次遍历每个事件，内层循环维护当前扫描线中的线段并统计交点个数。

下面是扫描线算法的伪代码实现：

# 将所有事件按从左到右的顺序排序
events = sorted([(x1, 1, y1, y2), (x2, -1, y1, y2) for (x1, y1), (x2, y2) in segments])

# 维护当前扫描线中的线段和交点个数
line_set = set()
intersection_count = 0
for x, delta, y1, y2 in events:
    # 通过 delta 的取值判断是左端点还是右端点
    if delta == 1:
        for other_y1, other_y2 in line_set:
            if y1 <= other_y1 and other_y2 <= y2:
                intersection_count += 1
        line_set.add((y1, y2))
    else:
        line_set.remove((y1, y2))
        for other_y1, other_y2 in line_set:
            if y1 <= other_y1 and other_y2 <= y2:
                intersection_count += 1

该算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中排序的时间复杂度为 O(n log n)，遍历所有事件的时间复杂度为 O(n)，每个事件中维护扫描线的时间复杂度为 O(n)，因此总时间复杂度为 O(n^2 log n)。

分治算法

分治算法是另一种常用的求解方法。该算法基于以下观察：每条线段的交点个数等于它左侧的线段与右侧线段的交点个数之和，因此可以将原问题递归地分解成两个子问题，分别求出左右半边的最大交点数，再计算中间部分的最大交点数。

具体来说，可以首先将所有线段按照 x 坐标从小到大排序，并将其分为左右两个子集。然后对于每个子集，递归地求解其最大交点数。最后考虑中间部分，我们可以枚举左侧子集中的每条线段和右侧子集中的每条线段，并统计它们之间的交点个数。最终的最大交点数即为三个部分中最大的那个。

下面是分治算法的伪代码实现：

# 求解最大交点数
def solve(segments):
    # 如果线段数小于等于 1，返回 0
    if len(segments) <= 1:
        return 0

    # 将线段按从左到右的顺序排序
    sorted_segments = sorted(segments, key=lambda seg: seg[0][0])

    # 分别求解左右半边的最大交点数
    mid = len(sorted_segments) // 2
    left_count = solve(sorted_segments[:mid])
    right_count = solve(sorted_segments[mid:])

    # 计算中间部分的最大交点数
    center_count = 0
    for left_seg in sorted_segments[:mid]:
        for right_seg in sorted_segments[mid:]:
            if left_seg[1] >= right_seg[0][1] and right_seg[0][1] <= left_seg[0][1]:
                center_count += 1

    # 返回三部分中最大的交点数
    return max(left_count, right_count, center_count)

该算法的时间复杂度为 O(n log^2 n)，其中排序的时间复杂度为 O(n log n)，递归过程中的时间复杂度为 T(n) = 2 T(n/2) + O(n log n)，因此总时间复杂度为 O(n log^2 n)。

总结

最大交点 n 条线问题是一道经典的计算几何问题，在程序员的面试中常常会遇到。两种常用的解法分别是扫描线算法和分治算法。扫描线算法的时间复杂度为 O(n^2 log n)，而分治算法的时间复杂度为 O(n log^2 n)。在实际应用中，应根据具体问题的特点选择合适的解法。