0 和 1 的圆形阵列中的多数元素

简介

多数元素问题是指，在一个给定的数组中，元素出现次数超过数组长度一半的那个元素。而 0 和 1 的圆形阵列中的多数元素问题则是指，在一个 0 和 1 组成的圆形阵列中，元素 0 和 1 出现次数分别超过数组长度一半的那个元素。这个问题可以用多种算法来解决。

算法

1. Boyer-Moore 投票算法

该算法利用了圆形阵列的特点，即可以将一个圆形阵列看作一个环形链表。该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

该算法的基本思想是：

1. 假设当前元素为候选元素，并初始化它的票数为 1。
2. 遍历整个圆形阵列，如果下一个元素与当前元素相同，则将票数加 1；否则将票数减 1。
3. 如果当前元素的票数为 0，则将下一个元素作为候选元素并将其票数设为 1。
4. 遍历完成后，最后留下的候选元素就是多数元素。

def majorityElement(nums: List[int]) -> int:
    count = 0
    candidate = None
    n = len(nums)
    for i in range(n):
        if count == 0:
            candidate = nums[i]
            count = 1
        else:
            if nums[i] == candidate:
                count += 1
            else:
                count -= 1
    return candidate

2. 分治算法

该算法的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(logn)。该算法的基本思想是将圆形阵列分成两个子问题，分别找出子问题的多数元素，并比较它们的出现次数，最终得出整个圆形阵列的多数元素。

该算法主要分为三步：

1. 将圆形阵列划分成两个子问题。
2. 递归求解每个子问题的多数元素。
3. 比较两个子问题的多数元素，返回出现次数更多的那个元素。

def majorityElement(nums: List[int]) -> int:
    def count_range(nums, num, l, r):
        count = 0
        for i in range(l, r+1):
            if nums[i] == num:
                count += 1
        return count

    def majority_element_rec(nums, l, r):
        if l == r:
            return nums[l]

        mid = (l + r) // 2
        left_majority_element = majority_element_rec(nums, l, mid)
        right_majority_element = majority_element_rec(nums, mid+1, r)

        if left_majority_element == right_majority_element:
            return left_majority_element

        left_majority_element_count = count_range(nums, left_majority_element, l, r)
        right_majority_element_count = count_range(nums, right_majority_element, l, r)

        return left_majority_element if left_majority_element_count > right_majority_element_count else right_majority_element

    return majority_element_rec(nums, 0, len(nums)-1)

总结

0 和 1 的圆形阵列中的多数元素问题可以用 Boyer-Moore 投票算法和分治算法来解决。其中 Boyer-Moore 投票算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)；而分治算法的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(logn)。