7的幂的最后两位数

如果你是一个程序员，那么你一定知道7是一个非常神奇的数字，因为7的幂的最后两位数是周期性变化的。在本文中，我们将深入研究这个神奇的数字，包括它的周期性变化、实现原理以及应用。首先，我们来看一下7的幂的最后两位数的变化规律。

变化规律

我们将7的幂的最后两位数称为“7的幂数”，并对它们进行编号，如下表所示：

| 7的幂 | 7的幂数 | | ----- | ------ | | 7^0 | 01 | | 7^1 | 07 | | 7^2 | 49 | | 7^3 | 43 | | 7^4 | 01 | | 7^5 | 07 |

可以发现，从7的幂数01开始，7的幂数会周期性地变化，并且每个周期的长度为4。这个规律可以用数学方法证明，但是我们在这里不做过多的推导。

实现原理

我们可以用两种方法来实现7的幂数的计算：一种是直接计算，一种是通过预处理表格来实现。

直接计算

直接计算7的幂数的代码如下所示：

def pow7_mod100(n):
    """
    计算 7^n % 100 的值
    """
    res = 1
    for i in range(n):
        res = (res * 7) % 100
    return res

def pow7_last2digits(n):
    """
    计算 7^n 的最后两位数
    """
    return pow7_mod100(n-1) % 100

这段代码的复杂度为O(n)，时间复杂度比较高。

预处理表格

我们可以事先计算好7的幂数的表格，并将它们存储在一个列表中。然后，我们在查询7的幂数时，可以直接查表格，而不需要重新计算。这种方法的复杂度为O(1)。

下面是使用预处理表格的代码：

POW7_MOD100_TABLE = [1, 7, 49, 43]

def pow7_last2digits(n):
    """
    计算 7^n 的最后两位数
    """
    return POW7_MOD100_TABLE[(n-1) % 4]

应用

在实际编程中，7的幂数可以用于解决一些数论问题，比如计算大素数的循环节、计算模数下的逆元等等。

举一个例子，假设我们要计算模数为13的逆元，也就是计算所有满足 $ax \bmod 13 = 1$ 的x的值。根据欧拉定理，$a^{φ(13)-1} \bmod 13$ 就是a在模数13下的逆元。而φ(13)=12，因此我们可以直接使用预处理表格来计算逆元。

POW7_MOD13_TABLE = [1, 7, 10, 5, 9, 11]

def inverse_mod13(a):
    """
    计算在模 13 下 a 的逆元
    """
    return POW7_MOD13_TABLE[(12-a) % 6]

以上就是关于7的幂的最后两位数的介绍，包括变化规律、实现原理和应用。如果你对这个神奇的数字感兴趣，不妨尝试自己实现一下，体验一下其中的乐趣。