最大和子序列问题

最大和子序列是常见的一个问题，在许多算法竞赛和面试题目中均有出现。给定一个整数数组，求其连续子序列的最大和。

解法1：暴力枚举

我们可以很容易想到一种暴力枚举的方法，用两重循环枚举所有的子序列，并计算它们的和，最后选择其中最大的一个。时间复杂度$O(n^2)$。

def max_sum_subarray(array):
    n = len(array)
    max_sum = -float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n+1):
            tmp_sum = sum(array[i:j])
            max_sum = max(max_sum, tmp_sum)
    return max_sum

解法2：动态规划

动态规划是另一种常用的解法。我们可以用$dp[i]$表示以第$i$个数结尾的最大和子序列的和。$dp[i]$的状态转移方程为$dp[i] = max(dp[i-1]+array[i], array[i])$，即以第$i$个数结尾的最大和子序列将会包含第$i$个数或者不包含第$i$个数。时间复杂度$O(n)$。

def max_sum_subarray(array):
    n = len(array)
    dp = [array[0]]
    max_sum = array[0]
    for i in range(1, n):
        dp.append(max(dp[i-1]+array[i], array[i]))
        max_sum = max(max_sum, dp[i])
    return max_sum

解法3：分治法

分治法也可以解决最大和子序列问题。我们将其拆解为三个子问题：最大和子序列在左半部分、最大和子序列在右半部分、最大和子序列跨越中点。时间复杂度为$O(nlogn)$。

def max_sum_subarray(array):
    n = len(array)
    if n == 1:
        return array[0]
    else:
        mid = n//2
        left = max_sum_subarray(array[:mid])
        right = max_sum_subarray(array[mid:])
        cross_sum = cross_max_sum(array, mid)
        return max(left, right, cross_sum)

def cross_max_sum(array, mid):
    left_sum = -float('inf')
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid-1, -1, -1):
        tmp_sum += array[i]
        left_sum = max(left_sum, tmp_sum)
    right_sum = -float('inf')
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid, len(array)):
        tmp_sum += array[i]
        right_sum = max(right_sum, tmp_sum)
    return left_sum+right_sum

以上三种方法分别为暴力枚举、动态规划和分治法。我们可以根据实际情况选择其中一种。