通过仅交换 GCD 为 1 的对来对给定数组进行排序

简介

本文将介绍一种基于 GCD（最大公约数）的排序算法，该算法可以对给定的数组进行排序，而且只能通过交换 GCD 为 1 的对来进行排序。这种算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数组的长度。

算法原理

本算法的核心思想是利用 GCD 的性质来确定数组元素之间的关系，进而进行排序操作。具体地说，我们可以通过以下方法来判断两个元素的大小关系：

1. 如果 a[i] <= a[j]，则 a[i] 和 a[j] 的 GCD 一定是 a[i]；
2. 如果 a[i] > a[j]，则 a[i] 和 a[j] 的 GCD 一定是 a[j]。

为了方便表示，我们用 (i, j) 表示数组中下标为 i 和 j 的元素构成的有序对（即 a[i] <= a[j]），用 [i, j] 表示数组中下标为 i 和 j 之间的元素构成的子数组。

基于以上性质，我们可以进行以下操作：

1. 将数组中所有相邻的 GCD 不为 1 的元素对 (i, j) 转化为 GCD 为 1 的元素对 (k, l)，其中 k 是 [i, j] 中的最小值，而 l 是 [i, j] 中的最大值。
2. 对于任意相邻的 GCD 为 1 的元素对 (k, l)，如果 k > l，则交换它们；
3. 重复以上操作，直到数组排序完成为止。

代码实现

基于以上算法原理，我们可以用以下代码来实现对数组的排序：

def gcd_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n-1):
        for j in range(i+1, n):
            if gcd(arr[i], arr[j]) > 1:
                # 如果 a[i] 和 a[j] 的 GCD 不为 1
                # 则转化为 GCD 为 1 的元素对
                k, l = min(arr[i], arr[j]), max(arr[i], arr[j])
                for p in range(i+1, j):
                    k, l = min(k, arr[p]), max(l, arr[p])
                for p in range(i, j+1):
                    arr[p] = k
                arr[j] = l
    # 对于任意相邻的 GCD 为 1 的元素对
    # 如果 k > l，则交换它们
    for i in range(n-1):
        if gcd(arr[i], arr[i+1]) == 1 and arr[i] > arr[i+1]:
            arr[i], arr[i+1] = arr[i+1], arr[i]
            # 重新从头开始遍历，保证完全有序
            i = -1
    return arr

其中，我们用自带函数 gcd 来实现求两个数的最大公约数的操作。

代码测试

为了验证以上算法的正确性，我们可以使用以下代码来进行测试：

import random

# 测试随机生成的1000个元素的数组
arr = [random.randint(1, 100) for _ in range(1000)]
arr_sorted = gcd_sort(arr)
assert arr_sorted == sorted(arr)

# 测试已知顺序的10个元素的数组
arr = [10, 27, 8, 70, 66, 17, 25, 49, 47, 34]
arr_sorted = gcd_sort(arr)
assert arr_sorted == sorted(arr)

总结

本文介绍了一种基于 GCD 的排序算法，该算法可以对给定的数组进行排序，而且只能通过交换 GCD 为 1 的对来进行排序。这种算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数组的长度。相对于其他经典排序算法，它的效率可能不是最高的，但它的思想值得我们去思考和学习，以便在实际算法设计中能够运用到更多的思想。