寻找网格中不受塔限制的最大区域

介绍

在一个二维网格中，我们可以放置一些塔，每个塔可以垂直或水平地覆盖一行或一列。我们希望找到在不受任何塔的限制下，可以放置皇后的最大区域。 本文将介绍如何通过深度优先搜索和动态规划寻找这个最大区域。

深度优先搜索

深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。我们可以使用它来探索网格中所有可能的解决方案，然后选择最大的那个。

这里有一段 Python 代码片段，用于找到最大的连通块。初始时，我们将所有未覆盖的网格位置放入一个数组中，然后从中选择一个位置开始搜索。搜索时，我们使用递归的方式将相连的所有未覆盖的网格位置标记为已访问。

def dfs(grid, uncovered):
    if not uncovered:
        return 0
    max_size = 0
    for i, j in uncovered:
        size = 1
        mark(grid, i, j)
        size += dfs(grid, uncovered - {(i, j+1), (i, j-1), (i+1, j), (i-1, j)})
        unmark(grid, i, j)
        max_size = max(max_size, size)
    return max_size

def mark(grid, i, j):
    grid[i][j] += 1

def unmark(grid, i, j):
    grid[i][j] -= 1

def largest_area(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    uncovered = {(i, j) for i in range(m) for j in range(n) if grid[i][j] == 0}
    return dfs(grid, uncovered)

该算法的时间复杂度为 O(N ^ 2)。

动态规划

动态规划是一种更高效的算法，它使我们能够在不重复计算子问题的情况下解决复杂问题。在本例中，我们通过填写一个 0 和 1 的网格来实现动态规划。

我们首先将所有的 1 塔标记在网格上，然后对每个网格位置，记下其上、下、左、右四个方向上最先被塔所限制的位置。

然后，对于每个网格位置，我们可以计算它与上、下、左、右四个邻居的联通情况。具体来说，如果该网格是未覆盖的，且其与邻居已经联通，则该网格与邻居联通，否则它们不联通。

我们可以使用两个动态规划数组 fill 和 conn，fill[i][j] 表示从位置 (i,j) 开始向四个方向扫描所能到达的最大范围，而 conn[i][j] 表示其与上、下、左、右四个邻居是否联通。

def largest_area(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    fill, conn = [[0] * n for _ in range(m)], [[0] * n for _ in range(m)]
    
    # step 1: 扫描填写 fill 数组
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if grid[i][j] == 1:
                continue
            if i == 0:
                fill[i][j] |= 1
            else:
                fill[i][j] |= fill[i-1][j] & 1
            if j == 0:
                fill[i][j] |= 2
            else:
                fill[i][j] |= fill[i][j-1] & 2
            if i == m-1:
                fill[i][j] |= 4
            else:
                fill[i][j] |= fill[i+1][j] & 4
            if j == n-1:
                fill[i][j] |= 8
            else:
                fill[i][j] |= fill[i][j+1] & 8
    
    # step 2: 扫描填写 conn 数组
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if grid[i][j] == 1:
                continue
            if fill[i][j] & 1 and (i == 0 or conn[i-1][j]):
                conn[i][j] |= 1
            if fill[i][j] & 2 and (j == 0 or conn[i][j-1]):
                conn[i][j] |= 2
            if fill[i][j] & 4 and (i == m-1 or conn[i+1][j]):
                conn[i][j] |= 4
            if fill[i][j] & 8 and (j == n-1 or conn[i][j+1]):
                conn[i][j] |= 8

    # step 3: 统计未覆盖位置中联通的数量
    ans = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if grid[i][j] == 0 and not conn[i][j] & 15:
                ans += 1
    return ans

该动态规划算法的时间复杂度为 O(N)，相比之下，深度优先搜索的时间复杂度较高。同时，动态规划的代码也更加清晰易懂。

总结

本文介绍了两种寻找网格中不受塔限制的最大区域的算法：深度优先搜索和动态规划。这两种算法均能够在较短的时间内解决该问题，具体选择哪一种算法，取决于实际情况和数据规模。