给定二进制字符串的所有子字符串的异或

在计算机科学中，异或（XOR）是一种运算符，用于对二进制数据进行比较。它返回真值的充要条件是两个操作数中恰有一个为真。在本题中，我们要求给定一个二进制字符串，找出它的所有子字符串，并对它们进行异或操作，最终返回异或值。

方法一：暴力枚举

最简单的方法是枚举所有子字符串，对它们进行异或操作。这种方法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是字符串的长度。因此，这种方法只在输入规模较小的时候有效。

def xor_substrings(s):
    n = len(s)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            tmp = 0
            for k in range(i, j+1):
                tmp ^= int(s[k])
            res ^= tmp
    return res

方法二：前缀异或

我们可以利用前缀异或的性质，在O(n^2)时间复杂度内得到所有子串的异或值。

对于位置i，我们可以预处理出前缀异或数组xor[i]，表示从0到i的所有数字的异或值。

对于子串[m, n]，它们的异或值为：xor[m]^xor[n+1]。

def xor_substrings(s):
    n = len(s)
    xor = [0]*(n+1)
    for i in range(1, n+1):
        xor[i] = xor[i-1] ^ int(s[i-1])
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            res ^= (xor[j+1] ^ xor[i])
    return res

总结

本题的主要难点在于如何快速得到所有子串的异或值。通过预处理前缀异或数组，我们可以在O(n^2)时间复杂度内得到答案。

如果你对此题感兴趣，可以尝试将异或操作替换为其他位运算，如与运算或或运算。在实际应用中，异或运算经常用于数据加密和唯一标识符生成等领域。