OR值为1的子矩阵数介绍

什么是OR值为1的子矩阵

OR值为1的子矩阵指的是，矩阵中存在至少一个元素，使得该元素所在的行和列的元素按位或运算的结果为1。

以矩阵 [[0,1,1],[1,1,1],[0,1,0]] 为例，它的 OR 值为1 的子矩阵有 [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]] 和 [[0,1,1],[1,1,1],[0,1,0]]。

解法

暴力法

最简单的方法就是暴力地枚举所有子矩阵，计算它们的 OR 值，并统计OR值为1的子矩阵数。时间复杂度为 $O(n^6)$，对于大矩阵来说非常耗时。

DP

我们可以利用 DP 的思想解决这个问题。设 dp[i][j] 表示以 (i,j) 为右下角的最大子矩阵长宽，h[i][j] 表示 矩阵中 (i,j) 列向上最多有多少个含 1 的行，然后就可以求得以 (i,j) 为右下角的最大子矩阵 OR 值为1 的个数。

具体来说，遍历每个元素 (i,j)，计算出 h[i][j]。然后再倒序遍历每个行，计算以 (i,j) 为右下角的最大子矩阵的 OR 值并累加。

时间复杂度为 $O(n^3)$，可接受。

优化 DP

上述 DP 方法中，h 数组的计算每次都要从该元素开始向上扫描，这使得时间复杂度变为 $O(n^4)$。我们可以借助前缀和的思想，用 $O(n^2)$ 的时间预处理出 h 数组，从而将总时间复杂度降至 $O(n^3)$。

代码

以下是 DP 解法的 Python 代码：

def countSubmat(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    h = [[0] * n for _ in range(m)]

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                continue
            h[i][j] = h[i - 1][j] + 1 if i > 0 else 1

            w = h[i][j]
            for k in range(j, -1, -1):
                w = min(w, h[i][k])
                dp[i][j] += w

    return sum(dp[i][j] for i in range(m) for j in range(n))

以上是优化 DP 解法的 Python 代码：

def countSubmat(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    for i in range(m):
        h = [0] * n
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                continue
            h[j] = (h[j] + 1) if i == 0 else (h[j] + 1) if matrix[i - 1][j] else 1

        stack = []
        for j in range(n):
            while stack and h[stack[-1]] >= h[j]:
                stack.pop()
            L = stack[-1] + 1 if stack else 0
            dp[i][j] = (i - L + 1) * h[j] + (dp[i][stack[-1]] if stack else 0)
            stack.append(j)

    return sum(dp[i][j] for i in range(m) for j in range(n))

总结

OR值为1的子矩阵数是一个经典的问题，在面试和算法竞赛中比较常见。解法有暴力法、DP、优化 DP 三种，其中优化 DP 是最优解法。掌握这道题的解法对于提升算法能力和编程实力都有很大的帮助。