将数组拆分为 K 个非空子集，以使它们的最大值和最小值之和最大化

问题描述

给定一个正整数数组和一个正整数 k，将数组拆分为 k 个非空连续子数组，使得这 k 个子数组的最大值和最小值之和最大化。

解法

这是一道经典的数学问题，需要用到动态规划。

假设 $dp[i][j]$ 表示将前 $i$ 个元素进行拆分，拆分成 $j$ 个非空子数组得到的最大值和最小值之和的最大值，则有以下状态转移方程：

$$dp[i][j] = \max_{m=1}^{i-1} {\max_{t=1}^{j-1}dp[m][t]+maxsum[i][m]}$$

其中 $maxsum[i][j]$ 表示区间 $[j, i]$ 的最大值。

我们需要先预处理出 $maxsum$ 数组。具体做法是，从右到左遍历数组，维护一个值 $mx$ 表示当前位置右侧区间的最大值，然后计算出 $maxsum[i][j]=\max{mx, a_i, maxsum[i+1][j]}$。

最终所求即为 $dp[n][k]$ （其中 $n$ 为数组长度）。

代码实现

def max_sum(array, k):
    n = len(array)
    maxsum = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        mx = array[i]
        for j in range(i, n):
            mx = max(mx, array[j])
            maxsum[i][j] = mx
    
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            for m in range(1, i):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[m][j - 1] + maxsum[m][i - 1])
    
    return dp[n][k]