图的传递闭包

什么是图的传递闭包？

图的传递闭包是指对于一个有向图，如果从节点A可以到达节点B，且从节点B可以到达节点C，那么从节点A也一定可以到达节点C。如果我们把这种关系都标记出来，就形成了图的传递闭包。在计算机科学中，图的传递闭包是一个图的性质，用于表示有向路径的可达性。

怎样计算图的传递闭包？

计算图的传递闭包，一般采用Floyd–Warshall算法，也称为Floyd算法。以下是Floyd算法的Python实现：

def floyd(n, graph):
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                graph[i][j] = graph[i][j] or (graph[i][k] and graph[k][j])
    return graph

其中，n是节点的数量，graph是邻接矩阵表示的图。算法的时间复杂度为$O(n^3)$。

在这个算法中，我们使用二维矩阵$graph[i][j]$来表示节点i是否可以到达节点j。初始情况下，节点i只能到达它自己，因此都设置为1。然后，我们枚举中间节点k，如果节点i可以到达节点k，且节点k可以到达节点j，那么我们就可以更新节点i到节点j的可达性。

应用场景

图的传递闭包可以用于很多场景。例如，在一个社交网络中，如果A用户关注了B用户，B用户关注了C用户，那么我们就可以认为A用户也关注了C用户。在这种情况下，我们可以构建一个有向图，图中每个节点表示一个用户，如果节点A到节点B有一条有向边，代表A用户关注了B用户。然后，我们就可以计算出图的传递闭包，从而得到哪些用户之间存在关注关系。

结论

图的传递闭包是一个非常有用的性质，可以用于表示有向路径的可达性。通过Floyd算法，我们可以快速计算图的传递闭包，并在实际应用中得到许多好处。