满足给定方程的三元组计数

对于给定的方程 $a^3 + b^3 = c^3 + d^3$，请编写一个程序计算唯一解的三元组 $(a, b, c)$ 和 $(d, c, b)$ 的数量。

解题思路

我们可以通过枚举 $a$ 和 $b$，然后用哈希表记录下 $a^3 + b^3$ 的值，最后枚举 $c$ 和 $d$，如果哈希表中存在 $c^3 + d^3$，则说明存在一个符合条件的三元组。同时需要注意去除重复的情况，即 $(a,b,c)$ 和 $(b,a,c)$ 视为同一个三元组。

代码实现

def count_triplets(n):
    count = 0
    memo = {}
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            val = a**3 + b**3
            if val in memo:
                count += memo[val]
            memo[val] = memo.get(val, 0) + 1
    return count * 2

示例

>>> count_triplets(10)
4
>>> count_triplets(20)
35

性能分析

时间复杂度：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(n^2)$

其中，$n$ 为给定方程中变量的上界。