最大化 NxN 网格中 KxK 子网格的中值

问题描述

假设有一个 $N \times N$ 的网格，我们希望在其中找到一个 $K \times K$ 的子网格，使得该子网格中所有元素的中值最大。

解决方案

我们可以使用二分答案的方法来解决这个问题。具体来说，我们可以二分中值，然后判断是否存在一个 $K \times K$ 的子网格，使得该子网格中所有元素的值都不小于这个中值。

为了判断是否存在这样的子网格，我们可以使用前缀和来进行计算。具体来说，我们可以先将每个元素减去中值，然后对于每个 $(i, j)$，我们令 $sum_{i, j}$ 表示以 $(i, j)$ 为右下角的 $K \times K$ 的子网格所有元素之和。然后我们遍历所有可能的 $(i, j)$ 的值，如果存在 $sum_{i, j} \geq 0$，则说明存在一个 $K \times K$ 的子网格，使得该子网格中的所有元素之和不小于 $K^2 \times$ 中值。

最后，我们记录能够使得 $sum_{i, j} \geq 0$ 的最大的中值即可。

时间复杂度

二分答案需要进行 $O(\log C)$ 次判断，其中 $C$ 表示最大值和最小值之差。而对于每次判断，我们需要计算 $N^2$ 个 $sum_{i, j}$ 的值，每个 $sum_{i, j}$ 需要 $O(K^2)$ 的时间计算，因此总时间复杂度为 $O(N^2 K^2 \log C)$。

代码实现

def check(mid, N, K, C):
    psum = [[0] * (N + 1) for _ in range(N + 1)]
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            if C[i][j] >= mid:
                psum[i + 1][j + 1] = 1
            else:
                psum[i + 1][j + 1] = -1
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(1, N + 1):
            psum[i][j] += psum[i - 1][j] + psum[i][j - 1] - psum[i - 1][j - 1]
    for i in range(K, N + 1):
        for j in range(K, N + 1):
            if psum[i][j] - psum[i - K][j] - psum[i][j - K] + psum[i - K][j - K] >= 0:
                return True
    return False

def solve(N, K, C):
    l, r = 1, 10 ** 9
    while l < r:
        mid = (l + r + 1) // 2
        if check(mid, N, K, C):
            l = mid
        else:
            r = mid - 1
    return l

其中，C 是一个 $N \times N$ 的矩阵，表示原始的网格中的元素值。