友好数对

友好数对（Amicable pair）指的是两个正整数中，其中一个数的所有因子之和（不包含本身）等于另一个数，并且另一个数的所有因子之和（不包含本身）等于第一个数。简而言之，两个数的因子之和相等，就是友好数对。

例如，220和284就是一对友好数对，因为220的因子之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，284的因子之和为1+2+4+71+142=220。

友好数对在程序员圈子里很有趣，经常被用来作为面试问题或编程挑战。

1. 如何判断两个数是否为友好数对？

两个数A和B，如果它们都不是质数，而且它们的因子之和相等，那么这两个数就构成了一个友好数对。

在程序中可以通过计算两个数的因子之和来进行判断，如果相等则为友好数对。

下面是Python语言的代码示例:

def get_factors_sum(n: int) -> int:
    # 计算n的因子之和
    factors_sum = 0
    for i in range(1, n):
        if n % i == 0:
            factors_sum += i
    return factors_sum

def is_amicable_pair(a: int, b: int) -> bool:
    # 判断a,b是否为友好数对
    factors_sum_a = get_factors_sum(a)
    factors_sum_b = get_factors_sum(b)
    return a != b and factors_sum_a == b and factors_sum_b == a

a = 220
b = 284
print(is_amicable_pair(a, b))  # True

2. 如何找出给定范围内的所有友好数对？

找出给定范围内的所有友好数对，可以遍历这个范围内的每一个数，计算其因子之和，然后比较是否有其他的数与之构成友好数对。

下面是一个Python语言的代码示例，查找1到10000之间的所有友好数对:

def get_amicable_pairs(start: int, end: int) -> list:
    # 查找[start, end]范围内的友好数对
    amicable_pairs = []
    for i in range(start, end + 1):
        for j in range(i + 1, end + 1):
            if is_amicable_pair(i, j):
                amicable_pairs.append((i, j))
    return amicable_pairs

start = 1
end = 10000
result = get_amicable_pairs(start, end)
print(result)  # [(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368)]

3. 如何优化查找友好数对的算法？

上述方法虽然可行，但是在查找范围较大时，时间复杂度比较高。我们可以利用已经找到的友好数对，尽可能地避免重复计算。

例如，我们已经找到了数x和y构成了一对友好数对，那么当我们遍历到数x时只需要计算y的因子之和，就可以知道y是否与后面的数构成友好数对；当我们遍历到数y时只需要计算x的因子之和，就可以知道x是否与后面的数构成友好数对。

下面是一个Python语言的代码示例，优化后查找1到10000之间的所有友好数对:

def get_amicable_pairs_v2(start: int, end: int) -> list:
    # 查找[start, end]范围内的友好数对，优化算法
    amicable_pairs = []
    for i in range(start, end + 1):
        factors_sum_i = get_factors_sum(i)
        for j in range(i + 1, end + 1):
            if factors_sum_i == j and get_factors_sum(j) == i:
                amicable_pairs.append((i, j))
                # 找到一对友好数对后，尽可能利用它避免重复计算
                break
    return amicable_pairs

start = 1
end = 10000
result = get_amicable_pairs_v2(start, end)
print(result)  # [(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368)]

总结

友好数对是一道有趣的编程问题，涉及到因子计算、查找和算法优化等知识点。希望本文对有兴趣的读者有所启发。