数组中最长完全数子序列的长度

完全数是指一个数的所有因子（除了它本身）之和恰好等于这个数本身。例如，6是一个完全数，因为6的因子为1、2、3，而1+2+3=6。在一个给定的数组中，找到最长的完全数子序列的长度。

解题思路

这道题可以用动态规划来解决。我们可以用 dp[i] 来表示以第 i 个数字结尾的最长的完全数子序列的长度。则有以下的状态转移方程：

$$ dp[i] = \max(dp[j]+1),\ \forall j<i,\ nums[i] \mod nums[j] = 0 $$

其中，nums 表示给定的数组。

这个转移方程的意思就是，对于每一个 i，我们要找到所有 j<i 且 nums[j] 是 nums[i] 的因子的 dp[j] 中的最大值，加 1 就是 dp[i] 的值。

最后，我们要找到 dp 中的最大值即为所求答案。

代码实现

def longest_perfect_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    ans = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] % nums[j] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
        ans = max(ans, dp[i])
    return ans

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2)$，其中 n 是数组的长度。需要枚举每一个 i 和 j。

空间复杂度：$O(n)$。需要一个数组来保存 dp 值。