毫升 |使用特征脸的人脸识别（PCA 算法）

1991 年， Turk 和 Pentland提出了一种人脸识别方法，该方法使用降维和线性代数概念来识别人脸。这种方法在计算上成本较低且易于实现，因此用于当时的各种应用，例如手写识别、唇读、医学图像分析等。
PCA（Principal Component Analysis）是Pearson在1901年提出的一种降维技术。它使用特征值和特征向量来降维并将训练样本/数据投影到小特征空间上。让我们更详细地看一下算法（从人脸识别的角度）。

训练算法：

• 让我们考虑一组m个维度为N*N 的图像（训练图像）。
  

  带有真实标签的训练图像（LFW 人的数据集）

• 我们首先将这些图像转换为大小为N ^{2 的}向量，使得：
  
  
  $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{m}$
  
• 现在我们计算所有这些人脸向量的平均值并从每个向量中减去它
  
  $\psi =\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_i \\ a_{i} = x_{i}-\psi$
  
  
  

  平均脸

• 现在我们取所有的人脸向量，得到一个大小为N ² * M 的矩阵。
  

  $A = \begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} &a_{3} &.... & a_{m} \end{bmatrix}$
  

  
  
  
  
• 现在，我们通过将A乘以 A ^{T 来}找到协方差矩阵。 A 具有维度N ² * M ，因此A ^T具有维度M * N ² 。当我们相乘时，这给了我们N ² * N ^{2 的}矩阵，这给了我们N ^{2 个大小的 N 2 个}特征向量，这在计算上不是很有效。所以我们通过乘以 A ^T和A来计算我们的协方差矩阵。这给了我们M * M矩阵，它有M 个（假设 M << N ² ）个大小为M 的特征向量。
  

  $Cov = A^{T}A$
  

• 在这一步中，我们使用以下公式计算上述协方差矩阵的特征值和特征向量。
  $A^{T}A\nu_{i} = \lambda_{i}\nu_{i} \\ \\ AA^{T}A\nu_{i} = \lambda_{i}A\nu_{i} \\ \\ C{}'u_{i} = \lambda_{i}u_{i}$
  

  
  在哪里，
  $C{}' = AA^{T}$和$u_{i} = A\nu_{i}$

  从上面的说法可以得出结论$C_{}'$和C具有相同的特征值，它们的特征向量通过等式相关$u_{i} = A\nu_{i}$ .因此，协方差矩阵的M个特征值（和特征向量）给出的M个最大本征值（值和特征向量） $C_{}'$
  

• 现在我们计算这个缩减协方差矩阵的特征向量和特征值，并将它们映射到$C_{}'$通过使用公式$u_{i} = A\nu_{i}$ .
• 现在我们选择 K 个特征向量$C_{}'$对应于 K 个最大特征值（其中 K < M）。这些特征向量的大小为N ² 。
• 在这一步中，我们使用了我们在上一步中得到的特征向量。我们取归一化的训练人脸（人脸-平均人脸） $x_{i}$并以最好的 K 个特征向量的线性组合表示每个人脸向量（如下图所示）。
  
  $x_{i} -\psi = \sum_{j=1}^{K} w_{j}u_{j}$
  
  这些$u_{j}$被称为EigenFaces 。
  
  

  特征脸

  在这一步中，我们取特征脸的系数，并以这些系数的向量的形式表示训练人脸。

  $x_{i} = \begin{bmatrix} w_{1}^i\\ w_{2}^i\\ w_{3}^i\\ .\\ . \\ w_{k}^i \end{bmatrix}$
  

  

  特征面的线性组合

测试/检测算法：

使用真实标签测试图像

• 给定一个未知的人脸y ，我们需要先对人脸进行预处理，使其在图像中居中，并与训练人脸具有相同的尺寸
• 现在，我们从平均人脸中减去人脸$\psi$ .
  
  $\phi = y - \psi$
  
  
  

  测试图像 - 平均图像

• 现在，我们将归一化向量投影到特征空间以获得特征面的线性组合。
  
  $\phi = \sum_{i=1}^{k}w_{i}u_{i}$
  
• 从上面的投影，我们生成系数的向量，使得
  
  $\Omega= \begin{bmatrix} w_{1}\\ w_{2}\\ w_{3}\\ .\\ .\\ w_{k} \end{bmatrix}$
  
• 我们将上一步生成的向量从训练图像中减去，得到训练向量和测试向量之间的最小距离
  
  $e_r = min_{l}\left \| \Omega - \Omega_{l}\right \|$
  
• 如果这$e_r$低于容差水平T _r ，然后从训练图像中识别出 l 人脸，否则该人脸与训练集中的任何人脸都不匹配。
  

  测试图像与预测

好处：

• 易于实现且计算成本较低。
• 无需了解（例如面部特征）所需的图像（ID 除外）。

限制：

• 训练/测试需要适当的居中面。
• 该算法对图像中的光照、阴影和面部比例敏感。
• 该算法需要面部的前视图才能正常工作。

参考 ：

• Turk 和 Pentland 1991 年关于人脸识别的论文