0 和 1 段的最大长度介绍

当我们需要在计算机中表示一段二进制数据时，常常会将其转换为由 0 和 1 组成的串。在处理这些数据时，我们常常需要寻找其中的一些特殊子串，比如最长的 0 和 1 交替出现的子串，也就是 0 和 1 段的最大长度。

简介

0 和 1 段的最大长度问题，是指在一个只由 0 和 1 组成的序列中，找出其中连续的一段，使得其中 0 和 1 交替出现，且长度最大。比如对于序列 0010111010，最长的 0 和 1 段为 0101110，长度为 7。这个问题可以被看作是最长上升子序列 (LIS) 问题的变种。

解法

这个问题可以通过动态规划 (DP) 来解决。假设有一个长度为 n 的序列 A，其中 A[i] 表示序列中第 i 个元素的值，A[1..i] 表示前 i 个元素组成的子序列。我们定义两个状态变量 f0 和 f1，分别表示以 A[i] 结尾的，最后一个数为 0 或 1 的最长 0 和 1 段的长度。则我们可以得到以下状态转移方程：

f0[i] = (A[i] == 0 ? f1[i-1]+1 : f0[i-1]+1)
f1[i] = (A[i] == 1 ? f0[i-1]+1 : f1[i-1]+1)

其中 f0[i] 表示以 A[i] 结尾的，最后一个数为 0 的最长 0 和 1 段的长度，f1[i] 表示以 A[i] 结尾的，最后一个数为 1 的最长 0 和 1 段的长度。通过这两个状态变量的转移，我们可以得到整个序列中最长的 0 和 1 段的长度。

具体实现及复杂度分析请见代码片段。

代码

以下是使用 Python3 实现的代码片段，其中 nums 为需要求解的序列，f0 和 f1 分别为状态变量的值：

n = len(nums)
f0 = [1] * n
f1 = [1] * n
for i in range(1, n):
    if nums[i] == 0:
        f0[i] = f1[i-1] + 1
    else:
        f0[i] = f0[i-1] + 1
    if nums[i] == 1:
        f1[i] = f0[i-1] + 1
    else:
        f1[i] = f1[i-1] + 1
print(max(max(f0), max(f1)))

该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。