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📅  最后修改于: 2021-06-22 18:36:21             🧑  作者: Mango

在日常生活中，我们会遇到很多物体，需要找到它们的体积和表面积。例如，我们可能必须计算水箱可以容纳多少水。为此，我们需要知道水箱的形状，此外，我们还需要知道如何计算水箱的体积。有时，某些实体是不同标准形状的组合。

上图显示了一些基本的实体形状。对象通常由这些形状的组合组成。但是有时候我们可以通过移除一部分来从实体中制作出另一种形状。例如，Frustum。在这种形状下，我们有兴趣去除圆锥的一部分。让我们详细研究视锥。

视锥

让我们假设一个正确的圆锥形并从其中除去一部分。让我们用平行于底面的平面切割圆锥。

切掉小上圆锥体后保留的形状称为平截头体。我们每个人在日常生活中都已经看到过这种形状，我们的水杯也处于这种形状。因此，视锥可以定义为

让我们看一下这种形状的体积和表面积。

视锥的体积

上面给出的视锥的定义指出，视锥是圆锥体的切面部分。因此，要计算平截头体的体积，我们只需要计算较大和较小圆锥体的体积之差即可。

在上面给出的图中，我们假设

  1. 圆锥体的总高度为“ H + h”
  2. 总倾斜高度为“ l1 + l2”
  3. 较大的圆锥半径= R
  4. 切锥的半径= r

圆锥的总体积V 1 = \\ \frac{1}{3}\pi R^2 (H + h)

被移除的较小圆锥体的体积V 2 = \\ \frac{1}{3}\pi r^2 h

现在，我们来计算平截头体(V)的体积

V = V 1 – V 2

= \frac{1}{3}\pi R^2 (H + h) – \frac{1}{3}\pi r^2 h

= \frac{1}{3} \pi [R^2(H+h) - r^2h]

现在，使用三角函数中的切线函数公式，我们可以得出，

\\ \frac{R}{H+h} = \frac{r}{h} \\ \frac{R}{r} = \frac{H+h}{h} \\ H + h = \frac{Rh}{r}

在“体积”公式中插入此H + h值。

V = \\ \frac{1}{3} \pi [R^2(\frac{Rh}{r} - r^2h] \\ = \frac{1}{3}\pi \frac{[R^3h - r^3h]}{r}

再次使用相似三角形的属性，我们将找出h的值。

\\ \frac{R}{H+h} = \frac{r}{h} \\ \frac{R}{r} = \frac{H+h}{h} \\ Rh = Hr + hr \\ h(R - r) = Hr \\ h = \frac{Hr}{R - r}

将h的这个值代入公式中，我们得到

\\ V = \frac{1}{3}\pi \frac{[R^3h - r^3h]}{r} \\ = \frac{1}{3} \pi \frac{h(R^3 - r^3)}{r} \\ = \frac{1}{3} \pi \frac{\frac{Hr}{R - r}(R^3 - r^3)}{r} \\ = \frac{1}{3} \pi H(R^2 + r^2 + Rr) \\

截锥体的表面积

类似于体积，表面积也将等于较大圆锥体和较小圆锥体的表面积之差。

大圆锥体的曲面面积=πRl

较小圆锥体的曲面面积=πrl’

表面积之差=π(Rl – rl’)

在上面给出的图中，三角形OAB和OCD是相似的。所以，

\\ \frac{l'}{l} = \frac{r'}{r} \\ \frac{l - L}{l} = \frac{r'}{r} \\ lr - rL = r'l \\ l(r - r') = rL \\ l = \frac{rL}{r - r'}

让我们计算一下底边的周长

C =2πr和C’=2πr’

因此，视锥A的总弯曲表面积
= \\ \frac{1}{2}(Cl - C'l') \\ = \frac{1}{2}(2\pi rl - 2 \pi r'l') \\ = \frac{1}{2}(2\pi rl - 2 \pi r'\frac{r'l}{r} \\ = \frac{1}{2}2 \pi l\frac{(r^2 - r'^2)}{r} \\ = \pi l\frac{(r^2 - r'^2)}{r} \\ = \pi L\frac{r}{r - r'}(\frac{r^2 - r'^2}{r}) \\ = \pi L(r + r')

此处，L是由下式给出的倾斜高度，L = \\ \sqrt{ H^2 + (r - r')^2}

截锥体的总表面积=截锥体的总弯曲表面积A +两个基座的面积

让我们看看与我们刚得出的这些公式有关的一些问题。

样本问题

问题1：找出一个圆锥台的截头圆锥体的体积，该圆锥体的高度为20cm，两个基座的半径分别为5cm和8cm。

解决方案：

问题2：找出圆锥台的截锥体的表面积和总表面积，该截锥体的高度为10cm，两个基座的半径分别为4cm和8cm。

解决方案：

问题3：假设我们有一个开放的金属桶，其高度为50厘米，底座的半径为10厘米和20厘米。找到用于制造铲斗的金属板的面积。

解决方案：

问题4：如果截头锥体的高度为5y cm，半径为y和2y，则求出截头锥体的体积表达式。

解决方案：